Limites, opérations et théorèmes
La limite : voici un terme mathématique bien connu (et pas toujours favorablement de la part des lycéens...). C'est au mathématicien français Augustin-Louis Cauchy que nous devons cette notion essentielle de l'analyse mathématique.
Trouver une limite, c’est connaître le comportement d'une fonction, en particulier à l'une des bornes de son ensemble de définition, infini compris (voir la page sur les limites à l'infini).
Si vous êtes en terminale, d'autres pages sont plus adaptées que celle-ci pour votre niveau d'études : introduction aux limites, limites des fonctions usuelles, opérations sur les limites...
Limites
Ainsi, une limite peut être calculée au voisinage d'une valeur (à droite et/ou à gauche), même si la fonction n'est pas définie pour cette valeur. La limite elle-même est soit finie soit infinie (voir la page sur la limite infinie d'une fonction en un point). Le calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition fait partie des étapes de l'étude d'une fonction.
Ne pas confondre l’absence de limite et la limite infinie. À titre d'exemple, à l'infini la fonction exponentielle tend vers l'infini ; en revanche, la limite à l'infini de la fonction sinus n’existe pas.
La plupart des limites usuelles se découvrent facilement pour qui possède un peu de bon sens (l'inverse d'un nombre minuscule est très grand et réciproquement...). Les bases figurent en page opérations sur limites. Ainsi, pour tout entier \(n > 0\) :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{{x^n}}} = 0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{1}{{x}} = \infty\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt x = + \infty \)
Limites sur les logarithmes et sur la fonction exponentielle :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } {\ln x} = - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty} {\ln x} = + \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty} {e^{x}} = 0 \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty} {e^{x}} = + \infty \)
Autre limite utile :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } {\frac{\sin x}{x}} = 1 \)
Au-delà de l'approche intuitive, il existe bien entendu des définitions rigoureuses de la notion de limite, utilisées notamment pour les démonstrations (voir la page sur les limites infinies).
Opérations sur les limites
Il existe des cas (particulièrement nombreux dans les exercices de maths) où la détermination de la limite n'est pas tout de suite évidente. Il faut alors pousser l’analyse à l’aide des croissances comparées, des fonctions équivalentes ou autres triturations algébriques telles que changements de variables. Il existe quatre formes indéterminées algébriques (enseignées dans le secondaire) et trois formes exponentielles.
- Formes indéterminées algébriques
| \(\frac{0}{0}\) | \(\frac{\infty}{\infty}\) | \(0 \times \infty\) | \(\infty - \infty\) |
- Formes indéterminées exponentielles
| \(0^0\) | \(\infty ^0\) | \(1^{\infty}\) |
Exemple d'utilisation des fonctions équivalentes : à l’infini, une fonction polynomiale se comporte comme son terme de plus haut degré et une fonction rationnelle se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.
Lorsqu’une limite d’une fonction en un réel \(a\) n’est pas immédiatement déterminée, on peut ruser en calculant une limite en \(a + h\) lorsque \(h\) tend vers zéro. Par exemple, on cherche la limite au voisinage de \(a = 2\) de la fonction \(f\) définie comme suit :
\(\displaystyle{f(x) = \frac{2x^2 + 4x - 16}{3x^2 + x - 14}}\)
Une forme indéterminée de type \(\frac{0}{0}\) nous cause un léger embarras.
Posons \(x = 2 + h.\)
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2(2 + h)^2 + 4(2 + h) - 16}}{{3(2 + h)^2 + (2 + h) - 14}}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{{12}}{{13}}}\)
Notez qu’on serait arrivé au même résultat en factorisant par \(x - 2\) le numérateur et le dénominateur (c’est d’ailleurs plus simple. Voir la levée d'indétermination en page de division de polynômes).
La courbe représentative de cette fonction admet une asymptote horizontale d'équation \(y = \frac{2}{3}.\) En effet, nous avons vu qu'à l'infini la limite d'un quotient est égale au rapport des termes du plus haut degré (soit \(\frac{2x^2}{3x^2}\)).
Le théorème des gendarmes (limite par encadrement). Si, au voisinage de \(a\) :
\(g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} h(x) = l,\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l.\)
Ce théorème est particulièrement utile pour trouver la limite d'une fonction dont l'expression inclut une forme trigonométrique.
Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = b,\) et si \(\mathop {\lim }\limits_{X \to b} g(X) = c,\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (g \circ f)(x) = c\)
La règle de L’Hôpital : on quitte les formules « évidentes » pour une technique efficace pour lever les indéterminations. Si la limite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) est indéterminée, on la trouve par le quotient des dérivées \(\frac{f'(x)}{g'(x)}.\) Si ça ne suffit pas, on dérive encore. Dans notre exemple précédent, cela revient à chercher la limite en \(a = 2\) de \(\frac{4x + 4}{6x + 1},\) soit \(\frac{12}{13}.\) Le résultat est immédiat.
Limites et continuité : la limite est le concept central de la notion de continuité. L'étude des limites autour d'un point non défini d'une fonction peut parfois permettre un prolongement par continuité. Il faut pour celà qu'elles soient finies et qu'elles tendent vers la même valeur.
Entraînement
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^*\)
\(\displaystyle{g(x) = \frac{x \cos \frac{1}{x}}{\sqrt{x + 2}}}\)
On cherche la limite à droite de zéro de \(g.\)
Solution : on sait qu'un cosinus se situe entre -1 et 1. Donc le numérateur est compris entre \(-x\) et \(x,\) qui tendent tous deux vers 0. On déduit grâce au théorème de limite par encadrement que le numérateur tend vers zéro tandis que le dénominateur tend vers \(\sqrt{2}.\) Donc, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} = 0.\)
Voir aussi les pages d'exercices sur les limites avec exponentielle et sur les logarithmes et croissances comparées.
Dans certains cas difficiles de levée d'indétermination, il est possible de recourir aux développements limités (voir la page calcul de limites avec développement de Mc Laurin). Cette technique n'est pas au programme de l'enseignement secondaire.
Suites :
Les suites sont des fonctions particulières. La détermination de leur limite n'a d'intérêt qu'en \(+ \infty.\) Tous les détails en pages de limites de suites, limites des suites de type \(q^n\) et propriétés des limites de suites (niveau terminale générale).
