Les nombres réels

Les réels : propriétés et historique

Mystérieux ensemble des réels… Un ensemble qui n’a pas la même infinité d’éléments que, par exemple, celui des rationnels. Sur cette page, pas de réflexion philosophique sur l’infini. Juste quelques généralités, puis diverses propriétés qui peuvent sembler d’une désarmante évidence mais qui permettent à un étudiant de première année d’acquérir des notions essentielles. Ensuite, vous aurez droit à un peu d’histoire…

 

Pourquoi les réels ?

Parmi les ensembles de nombres, seuls les entiers naturels constituent une réalité tangible (quoique des entiers de milliards de chiffres dépassent largement la perception humaine). Pour les soustraire entre eux, il a fallu créer un nouveau concept, celui d’entier relatif.  Pour les diviser, c’est celui de rationnel qui a vu le jour. Mais pour calculer des racines, on a eu besoin d’imaginer un nouvel ensemble, celui des irrationnels. Ainsi, l’ensemble des réels est composé des rationnels et des irrationnels.

Pourquoi avoir besoin des réels ? Ceux-ci occupent toute la droite numérique, qui est ainsi continue. Sans les irrationnels, elle comporterait une infinité de trous puisque seuls les rationnels seraient représentés. Supposons que dans le plan repéré une droite non parallèle à l’axe des ordonnées ne soit définie que sur \(\mathbb{Q}\). La droite d’équation \(x = \pi\) la croiserait… sans lui être sécante ! Ce simple exemple montre par son absurdité qu’il est indispensable de travailler sur un ensemble numérique continu… Mais les besoins se sont toujours fait sentir : en géométrie, il est habituel de rencontrer des irrationnels (la diagonale d’un carré de côté 1 est égale à \(\sqrt 2 \), par exemple). Du temps de Leibnitz, il est apparu que des séries convergeaient vers des irrationnels (logarithmes…). Etc.

Ainsi, entre deux réels distincts, il existe toujours… une infinité de réels (voir la page densité).

La plupart d’entre eux sont impossibles à écrire. Seuls les nombres algébriques peuvent l’être (les rationnels, plus ceux qui s’écrivent sous forme de racine) ainsi que les logarithmes et ceux qui sont composés avec les rares irrationnels qui ont un nom (\(π\), \(e\)…).

 

C’est un corps

Soit \(a\), \(b\), \(c \in \mathbb{R}\).

L’addition et la multiplication sont commutatives : \(a + b = b + a\) et \(a × b = b × a\).

Elles possèdent un élément neutre (0 pour l’addition et 1 pour la multiplication).

Elles sont associatives. Ainsi \((a + b) + c = a + (b + c)\) et \((a × b) × c = a × (b × c)\).

Tout réel a un opposé pour l’addition et tout réel non nul a un inverse pour la multiplication.

Ainsi \(a + b = 0 \Leftrightarrow a =  - b\) et, pour tout \(b \ne 0\), \(ab = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{b}\).

Par conséquent, \((\mathbb{R},+,×)\) est un corps (commutatif).

La multiplication est distributive par rapport à l’addition.

\(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)

Enfin, le théorème du produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul (ou les deux).

 

Relation d’ordre

La relation \(\le\) sur \(\mathbb{R}\) est une relation d’ordre total.

Rappelons qu’une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. Donc \(\forall x,y \in \mathbb{R}\) :

  • Réflexivité : \(x \le x\)
  • Antisymétrie : si \(x \le y\) et \(y \le x\) alors \(x = y\).
  • Transitivité : si \(x \le y\) et \(y \le z\) alors \(x \le z\)

 

Propriété d’Archimède

Le corps \(\mathbb{R}\) est archimédien : quel que soit le réel \(x\), il existe un entier naturel \(n\) qui lui est strictement supérieur. Voir cette propriété et ses implications en page partie entière.

Ce qui nous amène à la définition des réels, due à David Hilbert : « \(\mathbb{R}\) est le dernier corps commutatif archimédien et il est complet ».

 

Propriété de la borne supérieure

Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) admet une borne supérieure. \(\mathbb{R}\) est d’ailleurs le seul corps totalement ordonné qui vérifie cette propriété.

 

Valeur absolue

Voir la page valeur absolue. Soit un réel \(x\). S’il est négatif, sa valeur absolue est égale à \(-x\). Elle se note \(|x|\). S’il est positif ou nul, sa valeur absolue est lui-même. Une distance, par exemple, est toujours positive ou nulle et peut être mesurée en valeur absolue.

 

Genèse de \(\mathbb{R}\)

C’est le grand mathématicien suisse Leonhardt Euler qui, le premier, a considéré les réels comme de vrais nombres (en 1770).

Dans l’histoire des mathématiques, une définition rigoureuse des réels a été particulièrement longue à émerger. En effet, l’idée du continu peut être perçue par chacun mais il n’est pas concevable de s’appuyer sur une notion géométrique (une droite) pour définir mathématiquement un ensemble numérique. Aujourd’hui, il existe plusieurs définitions. Les deux plus connues reposent sur les coupures de Dedekind et sur les suites de Cauchy. Elles sont fondées sur la notion de rationnel et, comme nous l’avons vu, celle-ci est assise sur celle d’entier et est parfaitement définie, ce qui permet une axiomatique rigoureuse.

C’est au Français Augustin-Louis Cauchy que nous devons le concept de limite, au début du dix-neuvième siècle. Une suite converge vers une limite lorsque, pour une différence entre deux réels \(m\) et \(n\) aussi grands que possible, les termes de la suite \(u_n\) et \(u_m\) deviennent aussi proches que possible. Cette définition suppose la continuité de la droite numérique, donc l’existence de nombres non rationnels.

L’Allemand Richard Dededink découvrit une façon de définir les réels en 1858 mais ne la publia qu’en 1872. Soit l'ensemble \(\mathbb{Q}\). Si l’on scinde celui-ci en deux sous-ensembles disjoints tel que l’un contienne tous les rationnels supérieurs ou égaux à un rationnel \(r\) et que l’autre contienne tous ceux qui lui sont strictement inférieurs, il subsiste entre les deux une coupure non vide qui n’appartient pas à \(\mathbb{Q}\). L’ensemble \(\mathbb{R}\) est celui de ces coupures. Cette définition, simple et élégante, connut rapidement le succès à travers l’Europe.