Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les opérations sur les limites de fonctions

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Quelques opérations simples sur les limites

En classe de terminale S, le programme de maths offre un cadre à de nombreux challenges intellectuels particulièrement stimulants. Les opérations sur les limites en font partie. Sur cette page, nous nous contenterons d’une introduction, sans exercice.

Les tableaux récapitulatifs ci-dessous reprennent les trois opérations simples qui relient une fonction f avec une fonction g.

a désigne soit un réel, soit l’infini tandis que L et L’ sont des réels. La procédure consiste à déterminer la limite en a pour f et pour g, puis à se référer aux tableaux.

Cette détermination peut nécessiter quelques manipulations algébriques. Dans ce cas, il est indiqué FI (forme indéterminée).

Ces tableaux ne sont pas à apprendre sans réfléchir. Les résultats doivent vous apparaître comme évidents.

Sommes et produits

additions et multiplications

Prenons des exemples simples. Leur présentation n'est pas celle qui doit être reproduite sur des copies, leur seule ambition étant d'aider à comprendre le mécanisme.

Exemple de somme :

Soit la fonction h définie sur R \ {0}.

h(x)

On peut considérer que h est la somme de f, fonction inverse et g, fonction cube.

Quelle est la limite en +∞ ?

limite de h

En effet, c’est la somme de 0+ et de +∞.

Calculons une autre limite de h, par exemple à gauche de 0.

limite en 0-

Pourquoi ? La limite de la fonction inverse à gauche de 0 est –∞ et 0³ = 0. La somme des deux est bien entendu –∞.

Exemple de produit (FI) :

Soit la fonction g définie sur R par g(x) =  (-).

Quelle est la limite à +∞ ?

Nous avons un produit de deux facteurs. Le premier tend vers +∞ tandis que le second tend vers –∞. Qui l'emportera ? Il faut lever l'indétermination.

Dans cet exemple très simple, il suffit de multiplier les deux termes pour changer l'expression de la fonction : g(x) = -x6.

Maintenant, la détermination de la limite est immédiate. C'est –∞.

Quotients

limites des quotients

Exemple :

Soit la fonction f définie sur R \ {-1 ; 0}.

f(x)

g / hg et h sont des fonctions définies par g(x) = 1 / (x + 1) et h(x) = .

Calculons la limite en +∞ de f. Le numérateur est de type 1 / +∞. Donc la limite est 0+.

limite du numérateur

Le dénominateur est la fonction carré dont il est évident qu’à l’infini, les valeurs prises par f sont positives et infinies.

Le quotient d’une valeur infiniment petite par une valeur infiniment grande est une valeur infiniment petite (Cf. tableau). Conclusion :

limite de f

 

opération sur limites

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés