Flash-back sur les classes de première et terminale. Si l’enseignement des probabilités mène naturellement aux statistiques inférentielles, les suites ont (entre autres) une application évidente en mathématiques financières.

Cette page n’est qu’un rappel du vocabulaire et du principe des suites numériques.

Une suite est une fonction de N dans R, dont le terme général est souvent noté u_n. C'est-à-dire que n est un entier naturel (en pratique, généralement une date ou une période), mais u_n peut prendre n’importe quelle valeur réelle. On ne visualise pas souvent les suites sur un repère. Elles sont présentées soit en escaliers, soit comme une fonction continue (voir représentation des suites).

On définit une suite par un terme général (comme toute fonction) ou par son premier terme complété d'une relation de récurrence.

Une suite est croissante si u_n ≤ u_n+1 et bien sûr décroissante si c'est u_n+1 qui est inférieur. Elle est monotone lorsqu'elle est toujours croissante ou toujours décroissante. Une suite est périodique de période p lorsque, pour tout n, u_n+p = u_n. Tous les détails en page sens de variation des suites.

Une autre notion importante est celle de majoration (et de minoration). Une suite est majorée s’il existe un réel M tel que toute valeur de la suite est inférieure ou égale à M. Elle est minorée s’il existe un réel m tel que toute valeur de la suite est supérieure ou égale à m. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Le premier terme est donc le minorant d’une suite croissante et le majorant d’une suite décroissante.

Limites

Voir la page limites de suites. Si la suite est présentée comme une fonction, faites un tour en page limites de fonctions. Ce qui s’applique aux fonctions est valable pour les suites.

Suites adjacentes

L’une est croissante, l’autre est décroissante. Vont-elles se croiser ? Non, mais elles convergent vers la même limite (à l’infini, la limite de leur différence est égale à zéro).

Les différents types de suites récurrentes

La suite arithmétique : pour tout naturel n, on a u_n+1 = u_n + r. Le réel r est appelé la raison. C'est par exemple le montant d'un capital qui rapporte des intérêts simples. La somme des n + 1 premiers termes de la suite est donnée par la formule suivante :

Celle-ci ne vaut que si le premier terme est u₀, ce qui n’a rien d’automatique. C’est pourquoi je préfère l’expression :

Ainsi, la somme des n premiers nombres est égale à n(n + 1) / 2. Si par exemple n = 3, nous avons 1 + 2 + 3 = 6 et nous vérifions bien 3 × (1 + 3) / 2 = 12 / 2 = 6.

J'ai défini les suites arithmétiques d'ordre 1. Lorsque ce sont les différences entre u_n et u_n+1 qui, au lieu d'être constantes, suivent elles-mêmes une suite arithmétique, on qualifie u_n de suite arithmétique d'ordre p. Par exemple, la suite n^p est arithmétique d'ordre p.

La suite géométrique : pour tout naturel n, on a u_n+1 = qu_n, le réel q étant appelé la raison. Si ce réel est différent de 1, la somme des n + 1 premiers termes est :

Là aussi, je préfère une formule plus générale :

Voir une application de cette somme en page renégociation d'emprunt.

Si q > 1, la suite diverge vers l'infini. Si q est strictement compris entre -1 et 1, la suite converge vers zéro. Si la raison est inférieure ou égale à 1, la série diverge mais n'a pas de limite puisque les éléments positifs alternent avec les négatifs.

Pour résumer, un salaire qui augmente de x euros chaque année suit une progression arithmétique tandis que s'il évolue de x %, il suit une progression géométrique.

Dans la formule de calcul des intérêts composés, la raison est égale à 1 + taux d'intérêt. En pratique, une suite peut recevoir quelques aménagements (voir la page annuités constantes d'emprunt obligataire).

La suite arithmético-géométrique (ou affine) : pour tout naturel n, la relation de récurrence est de la forme u_n+1 = au_n + b.

La suite des sommes partielles (pour n = 1, puis n = 2, etc.) est appelée une série.