Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les suites numériques

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Généralités sur les suites

Très vaste sujet que les suites, aux domaines d'application particulièrement étendus... En France, les élèves les découvrent en classe de première, toutes filières confondues (voir la page initiation aux suites).

Une suite est une liste ordonnée de nombres. Celle-ci commence généralement par un numéro zéro ou un numéro un. À chaque numéro (rang), c'est-à-dire à chaque entier naturel pour laquelle la suite est définie, correspond une valeur (terme). Une suite est donc une fonction d'une variable telle qu'enseignée au lycée, sauf que les antécédents x ne peuvent prendre que des valeurs entières.

Par tradition, le nom d'une suite s'écrit entre parenthèses, avec un indice général n. Ainsi, (un) est une application u de N dans R, dont le énième terme est noté un, tout comme une application d'un antécédent x de R dans R peut s'écrire f(x). En pratique, n est souvent une date ou une période déterminée et (un) peut prendre n’importe quelle valeur réelle, voire complexe (mais on n'évoquera pas ici ce type de suite).

Graphiquement, les suites sont représentées dans un plan normé soit sous forme de points (surtout en classe de première), soit en escaliers (rarement), soit comme une fonction continue (voir en page représentation des suites).

Lorsqu'une suite est structurée (ce qui n'est pas toujours le cas, Cf. plus bas), elle se définit soit par un terme général (comme toute fonction) soit par son premier terme complété d'une relation de récurrence. Prenons par exemple la suite des entiers pairs. Le terme général est un = 2n. Ainsi, le troisième terme de la suite est 2 × 3 = 6. Quant à la relation de récurrence, elle consiste à poser u0 = 0 puis un+1 = un + 2. Il faut calculer u1 et u2 pour déterminer u3. Une autre façon d'exprimer une suite est la sommation : on indique quels sont les premiers termes puis, après quelques points de suspension, on écrit le énième. Ce système de notation permet aussi d'écrire les sommes partielles des premiers termes d'une suite (chaque terme intègre la somme des termes précédents). Mais il s'agit là d'un type particulier de suite nommé série. Les tableurs sont très pratiques pour déterminer les termes d'une suite structurée (Cf. page suites géométriques sur Excel).

Une suite est croissante si un  un+1 et bien sûr décroissante si c'est un+1 qui est inférieur à son terme précédent. Elle est monotone lorsqu'elle est toujours croissante ou toujours décroissante. Une suite est périodique de période p lorsque, pour tout n, un+p = un. Tous les détails en page sens de variation des suites.

Une suite est positive si TOUS ses termes sont positifs (et négative s'ils sont tous négatifs).

Une autre notion importante est celle de majoration (et de minoration). Une suite est majorée s’il existe un réel M tel que toute valeur de la suite est inférieure ou égale à M. Elle est minorée s’il existe un réel m tel que toute valeur de la suite est supérieure ou égale à m. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Le premier terme d'une suite est donc le minorant d’une suite croissante et le majorant d’une suite décroissante.

Limites

Voir la page limites de suites. Si la suite est présentée par un terme général, faites un tour en page limites de fonctions. Ce qui s’applique aux fonctions est valable pour les suites mais on ne s'intéresse qu'à une seule limite (en l'occurrence, plus l'infini).

Suites adjacentes

Nous observons deux suites. L’une est croissante, l’autre est décroissante. Vont-elles se croiser ? Non, mais elles convergent vers la même limite (à l’infini, la limite de leur différence est égale à zéro).

Voyons à présent quelques types de suites.

En premier lieu, une suite peut être QUELCONQUE. Elle est parfois résumée par un terme général ou par une relation de récurrence mais elle ne peut être qualifiée comme faisant partie des catégories ci-dessous.

La suite arithmétique

Dans l'enseignement secondaire, c'est avec elle que les lycéens découvrent les suites (voir la page suites arithmétiques avec Excel).

Pour tout entier naturel n, on a un+1 = un + r. Le réel r est appelé la raison. C'est par exemple le montant d'intérêts simples que rapporte un capital. Graphiquement, si les valeurs de la suite peuvent être reliées par une droite, r en est le coefficient directeur.

La somme des + 1 premiers termes de la suite est donnée par la formule suivante :

somme suite arithmétique

Celle-ci ne vaut que si le premier terme est u0, ce qui n’est pas toujours le cas. C’est pourquoi on peut préférer l’expression :

somme des 1ers termes d'une suite arithmétique

Ainsi, la somme des n premiers nombres est égale à n(n + 1) / 2. Si par exemple n = 3, nous avons 1 + 2 + 3 = 6 et nous vérifions bien 3 × (1 + 3) / 2 = 12 / 2 = 6. C'est tout simplement la moyenne arithmétique entre le premier terme et le dernier, multipliée par le nombre de termes.

J'ai évoqué les suites arithmétiques d'ordre 1. Lorsque ce sont les différences entre un et un+1 qui, au lieu d'être constantes, suivent elles-mêmes une suite arithmétique, on qualifie (un) de suite arithmétique d'ordre p. Par exemple, la suite np est arithmétique d'ordre p.

La suite géométrique

Pour tout naturel n, on a un+1 = qun, le réel q étant la raison. Si ce réel est différent de 1, la somme des n + 1 premiers termes est :

somme suite géométrique

Pour illustrer, un salaire qui augmente de x euros chaque année suit une progression arithmétique tandis que s'il évolue de x %, il suit une progression géométrique.

Voir une application de cette somme en page renégociation d'emprunt.

Dans la formule de calcul des intérêts composés, la raison est égale à 1 + taux d'intérêt. En pratique, une suite peut recevoir quelques aménagements (voir la page annuités constantes d'emprunt obligataire).

Pour s'entraîner sur des exercices simples, voir la page suites géométriques avec Excel.

La suite arithmético-géométrique (ou affine)

Pour tout naturel n, la relation de récurrence est de la forme un+1 = aun + b.

La suite de variables aléatoires

Les statisticiens étudient des suites d'une variable aléatoire donnée. En économie, c'est le cas de toutes les séries chronologiques. Mais si on modélise celles-ci par des fonctions affines, par exemple en procédant à des régressions linéaires simples, on obtient des séries chronologiques théoriques qui sont des suites arithmétiques. Les suites de variables aléatoires sont souvent notées Xn.

L'emploi de certaines techniques assez complexes amène les statisticiens à considérer un autre type de suite où chaque valeur est elle-même une variable aléatoire. La suite prend alors le nom de processus stochastique.

 

raison

 

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