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(et fondements mathématiques)

La fonction inverse

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Fonction inverse : généralités et translations

Cette bonne vieille fonction inverse qui, pour tout réel x non nul associe l’expression 1 / x (= x-1), est une fonction de référence qui fait partie du programmes de seconde (Cf. page première approche de la fonction inverse). Sa courbe représentative est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine (réalisation sur Microsoft Math) :

fonction inverse

Il est évident que la fonction n’est pas définie pour x = 0. En revanche, elle est continue et strictement décroissante sur les intervalles R-* et R+*.

Il est tout aussi évident que plus x est grand, plus 1 / x est petit. Un millionième est plus petit qu’un dixième. Si x est infiniment grand (positivement ou négativement), 1 / x est infiniment petit mais jamais nul. Inversement, si x est infiniment petit, son inverse est infiniment grand.

Graphiquement, ces tendances infinies se traduisent par une asymptote verticale d’équation x = 0 et une asymptote horizontale, y = 0, ce qui se déduit des limites :

limites de la fonction inverse

Le tableau de variation de cette fonction se trouve en page asymptotes.

La fonction inverse est impaire puisque quel que soit x non nul, f(-x) est égal  à -f(x). Par exemple, si x est égal à 2, on f(-2) qui est égal à -1 2 et -f(2) qui est égal à -(1 / 2).

Dérivée et primitive

La dérivée de la fonction f définie sur R* par f(x) = 1 / x est f’(x) = -1 / x². Représentation graphique, toujours sur Microsoft Math :

dérivée de la fonction inverse

La fonction étant toujours décroissante sur chacun des deux intervalles de son ensemble de définition, la dérivée est toujours négative du moment que x est différent de 0. Par ailleurs, la fonction inverse est indéfiniment dérivable.

Une primitive de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien.

Exercice (niveau première)

Quelle est l’expression de la tangente au point d’abscisse 1 ?

On a f(1) = 1 et f'(1) = -1.

La formule de la tangente au point d’abscisse 1 : y = f(1)+ f’(1)(– 1).

En l’occurrence, y = 1 – x + 1, donc y = -x + 2.

Translations

Si une fonction a pour expression g(x) = 1 / (x + a), on peut la ramener à la fonction inverse par simple changement de variable. Graphiquement, ceci se traduit par une translation de l’hyperbole sur la gauche si a est positif et à droite s’il est négatif, c’est-à-dire par le vecteur (-a ; 0).

Exemple si a = 1. La courbe rouge représentative de la fonction g définie sur R \ {-1} par g(x) = 1 / (x + 1), réalisée sur GeoGebra :

translation horizontale

Soit une fonction h dont l’expression est h(x) = (1 / x) + b. La translation est cette fois-ci verticale : vers le haut si b est positif et vers le bas s’il est négatif.

La combinaison de ces deux translations reproduit toujours la même hyperbole mais excentrée en biais par rapport à l’origine.

réécriture

Donc, chaque fois qu’une fonction s’écrit sous cette une forme, il s’agit d’une simple translation de la fonction inverse. Prenons k(x) = (-3x – 5) / (x + 2) qui, comme on dit dans la police, correspond au signalement.

translation oblique

On voit bien la translation de la courbe par le vecteur (-2 ; -3).

 

fonction inverse

 

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