Division euclidienne de polynômes
Les polynômes sont habituellement étudiés dans le cadre de fonctions. On les trouve aussi en algèbre (voir les polynômes caractéristiques). En statistiques, les fonctions polynomiales ne pullulent pas. Tout au plus entrevoit-on parfois une régression sur fonction du second degré. Les degrés supérieurs à 2 relèvent alors de modèles un peu tirés par les cheveux, souvent peu robustes (à l'exception des fonctions de coûts). Néanmoins, il n’est pas inutile à un chargé d’études quantitatives de posséder en la matière des connaissances qui dépassent la découverte des racines d’un trinôme. On ne sait jamais quel travail bizarre peut survenir…
Polynômes
Qu’est-ce qu’un polynôme ? C’est une combinaison linéaire de produits entre les puissances d’une variable et des coefficients, en d’autres termes une somme de monômes de différents degrés. À titre d’exemple, \(P\) \(=\) \(3x^2 + 7x - 1\) est un polynôme de degré 2 (puisque la puissance la plus élevée est 2).
Les équations et inéquations de degré 2 et plus sont gourmandes en factorisations. Au-delà des trinômes, les équations les plus simples sont les bicarrées, de type \(ax^4 + bx^2 + c\) \(=\) \(0.\) Il suffit d’opérer un changement de variable en posant \(X = x^2,\) de résoudre puis de revenir à \(x.\) Ainsi, \(P\) \(=\) \(x^4 - 5x^2 + 4\) admet quatre racines : -1 et 1, -2 et 2. Si ce polynôme est l'expression d'une fonction, sa courbe représentative figure ci-dessous (réalisation avec Sine Qua Non). On constate qu’elle coupe l’axe des abscisses en -2, -1, 1 et 2.
D’autres factorisations sont effectuées grâce aux identités remarquables. Mais les conditions sont rarement réunies pour bénéficier de leur secours…
Division d'un polynôme
Au cours des études supérieures, on apprend à diviser un polynôme. Malheureusement, on n’utilise pas de méthode permettant une factorisation parfaite sans connaître préalablement au moins un facteur. On divise un polynôme par un autre qui est donné, de degré inférieur ou égal. Un polynôme premier est un binôme ou un trinôme qui ne s’annule pas dans \(\mathbb{R}.\) Au-delà du degré 2, tout polynôme peut être divisé par un polynôme premier. La forme obtenue n’est pas toujours factorisée : comme dans la plupart des divisions euclidiennes, il y a un reste
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Alors, à moins de repérer une racine évidente (-1 ou 1), une factorisation qui ne laisse aucun reste n’est pas possible sans autre information. Par conséquent, on ne verra ici que la division d’un polynôme par un autre, connu a priori.
Factorisons \(A\) \(=\) \(x^3 + 6x^2 - x - 30.\) On le divise par \(x + 5.\) L’opération s’exécute comme une division sans inconnue telle qu’on l’enseigne à l’école primaire.
D’abord, par quoi faut-il multiplier \(x\) pour obtenir \(x^3\) ? Oui ! par \(x^2.\)
On multiplie \(x + 5\) par \(x^2\) et que reste-t-il des puissances 3 et 2 ? \(x^2\) (c’est-à-dire \(6x^2 - 5x^2.\) On abaisse \(-x\) pour lui tenir compagnie.
Par quoi multiplier le « \(x\) » de \(x + 5\) pour obtenir le \(x^2\) bleu ? Par \(x,\) tout simplement.
Ensuite, c’est \(5x\) qu’il faut retirer à \(-x.\) Il reste donc \(-6x.\) On abaisse -30.
Et par quoi multiplier le \(x\) du diviseur pour obtenir \(-6x\) ? Oui, par -6. Et en plus \(-6 × 5 = -30.\)
La division est terminée, il n’y a même pas de reste (la division est EXACTE). Par conséquent, \(A\) \(=\) \((x + 5)(x^2 + x - 6).\) Le trinôme qui subsiste peut facilement être factorisé grâce au discriminant. On trouve alors \(A\) \(=\) \((x + 5)(x - 2)(x + 3).\)
Autre exemple. \(B\) \(=\) \(x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 7x - 12.\) Nous souhaitons diviser ce polynôme par \(x^2 - 1.\)
Ici, il y a un reste car \(10x – 13\) ne se divise pas par \(x^2 - 1.\)
\(B\) \(=\) \((x^2 - 1)(x^2 + 3x - 1) + 10x - 13\)
Dernier exemple : levée de l’indétermination d’une limite.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 } \left( \frac{x^3 + x - 10}{2x^2 - x - 6} \right)\]
C’est un cas sournois d’indétermination, de type \(\frac{0}{0}.\) On factorise facilement le dénominateur : \(Δ = 49,\) \(x_1 = -1,5\) et \(x_2 = 2.\) Donc ce dernier nous apparaît sous cette désormais charmante physionomie : \((x - 2)(2x + 3).\) Cette factorisation nous permet d’ailleurs de préciser l'ensemble de définition, qui est \(\mathbb{R} \backslash \{-1,5\,; 2\}.\)
Divisons \(x^3 + x - 10\) par \(x - 2.\) Nous trouvons \(x^2 + 2x + 5\) et il n’y a pas de reste. En ôtant \(x - 2\) aux deux étages, on obtient :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 } \left( \frac{x^2 +2 x + 5}{2x + 3} \right) = \frac{13}{7}\]
