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(et fondements mathématiques)

Les équations

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Égalités et résolution d'équations

Inutile de consulter un médecin si vous faites un blocage sérieux sur les maths. Consultez plutôt ce site web et vous constaterez qu’il n’y a aucune raison de se braquer contre les chiffres. D’ailleurs, la matière première des maths n’est pas les chiffres mais les raisonnements. Les équations, par exemple : quoi de plus logique ?

Définitions

Une égalité est une expression algébrique contenant le signe « = ». Par exemple, 5 + 2 = 7 est une égalité. Elle ne change pas si l’on ajoute ou si l’on soustrait un même nombre à ses deux membres : 5 + 2 + 1 = 7 + 1. Elle ne change pas non plus si l'on multiplie ou si l'on divise les deux membres par un même nombre non nul : 2 × (5 + 2) = 2 × 7.

On appelle équation une égalité vraie ou fausse dans laquelle au moins une lettre symbolise une valeur inconnue. Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.

Dans l'une de ses plus simples expressions, une équation est du premier degré à une inconnue : ax + c.

Une équation est composée de deux membres, séparés par le signe « = ». Ici, le premier est ax + b et le second est c.

Résolution

On résout l’équation ci-dessus en isolant l’inconnue x dans un seul membre. Les étapes tiennent compte des priorités de calcul. D’abord, on enlève b à chaque membre, d’où ax = c – b. Ensuite, x peut être isolé. Il suffit de diviser les deux membres par a.

Exemple :

2x + 1 = 11
⇔ 2x = 11 – 1
⇔ 2x = 10
⇔ x = 10 / 2
⇔ x = 5

La solution se présente entre accolades : S = {5}.

Si l’on remplace x par 5, on vérifie bien une égalité vraie : 2 × 5 + 1 = 11

On rencontre parfois des équations qui ont une infinité de solutions.

Exemple : soit x un réel différent de 2.

équation

La procédure consiste d’abord à obtenir une écriture sans dénominateur en multipliant les deux membres par (x – 2).

4x – 8 = 4(x – 2)
⇔ 4x – 8 = 4x – 8

On voit bien que l’équation reste juste quel que soit x. L’ensemble des solutions est l’ensemble des réels privé de 2, ce qui s’écrit S = R \ {2}.

Une équation du premier degré peut aussi n’avoir aucune solution. L’ensemble vide se note Ø ou { }. Exemple :

équation

Résolvons sur R :

4x + 1 = 4(x – 8)
⇔ 4x + 1 = 4x – 32
⇔ 4x – 4x = -32 – 1

Ce qui nous conduirait à écrire 0 = -33 (égalité fausse), donc S = Ø

Lorsque l’équation admet deux ou plusieurs solutions, on les présente en les séparant par des points-virgules.

Exemple : soit l’équation  = 9. Elle est du second degré puisque l’inconnue est élevée à la puissance 2. Comme un réel non nul et son opposé ont toujours le même carré, nous avons S = {-3 ; 3}. En effet, (-3)² = 9 et 3² = 9.

En revanche, un carré étant positif ou nul, l’équation  = -9 n’admet aucune solution sur R : S = Ø

Attention, une équation se résout sur un ensemble de définition, c’est-à-dire sur un intervalle de nombres possibles. Celui-ci peut être infini ou fini. Si par exemple un énoncé indique que cet ensemble est ]10 ; 100], alors l’équation x² = 9 n’a pas de solution puisque ni -3 ni 3 n’en font partie. De même, l’équation 2x = 3 n’a pas de solution dans N (ensemble des entiers naturels) mais elle en a une dans l’ensemble des réels R.

Deux équations définies sur un ensemble D sont dites équivalentes si elles admettent sur D les mêmes solutions.

Plusieurs inconnues

Il existe décidément des équations de toute sorte. Certaines ont plusieurs inconnues. Voir la page systèmes d’équations à plusieurs inconnues.

Équations paramétriques

Nous avons vu qu’une équation comportait deux sortes d’éléments : des nombres et une (ou des) inconnue(s). Mais elle peut aussi comprendre des paramètres, c’est-à-dire des valeurs fixes représentées par des lettres suivant lesquelles on peut discuter mais que l’on ne cherche pas à déterminer. Une telle équation est dite paramétrique.

Là, les choses se compliquent un peu…

Prenons un exemple. Résolvons dans R l’équation suivante où m désigne un paramètre réel.

m(m + 2)x – 4m + 1 = 0

La procédure consiste à examiner deux cas. Soit nous pouvons avoir une équation de type ax + = 0, soit m(m + 2) est nul et nous sommes en présence d’une équation de type b = 0 (puisque x est multiplié par 0).

Examinons d’abord ce dernier cas. Selon le théorème du produit nul, si m(m + 2) est égal à zéro, c’est soit m soit (m + 2) qui est nul. Donc, si = 0 ou si m = -2. Or, si m = 0, l’équation devient une égalité fausse : 1 = 0. Si m = -2, elle est tout aussi fausse puisqu’elle devient 9 = 0.

Second cas : m n’est ni 0 ni -2, ce qui s’écrit m ∈ R \ {-2 ; 0}. x ne disparaît donc pas dans l’opération. Développons.

m²x + 2mx – 4+ 1 = 0
⇔ ( + 2m)x = 4m – 1

Nous obtenons alors (après factorisation du dénominateur) :

resultat

Remarquez qu’au vu de ce résultat il est évident que m doit être différent de -2 et de 0. Mais il est plus rigoureux de déterminer l’ensemble de définition d’une équation avant sa résolution plutôt que l’inverse !

Concluons selon la valeur de m :

Si m = -2 ou m = 0, S = Ø

Si m ∈ R \ {-2 ; 0}, S = {(4m – 1)[m(m + 2)]}

 

inconnue

 

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