Une introduction aux limites

Généralités sur limites de fonctions

Cette introduction aux limites de fonctions s’adresse principalement aux élèves de terminale générale (spécialité et complémentaires). Mais si vous avez opté pour maths de spécialité, vous devrez en compléter la lecture par les pages limites à l’infini et limites en un point car ici les définitions ne sont pas indiquées.

 

Présentation générale

Vous savez probablement ce que sont les limites des suites. Leur détermination indique quel est le comportement d'une suite à l’infini. Cela n’a pas de sens de poser \(u_{+∞} = … \) car cela supposerait qu’il existe un rang infini qui admettrait un terme unique. Ce qui pose très mal le problème. Donc on cherche à savoir si, pour des rangs très élevés, les termes de la suite s’approchent d’une valeur ou s'ils deviennent infinis.

Avec une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) le principe est le même mais on s’intéresse à son comportement en divers lieux. Plus précisément, aux bornes de son ensemble de définition. Prenons par exemple la fonction inverse que vous connaissez bien. On ne doit pas seulement regarder ce qui se passe en \(+ ∞\) mais aussi en \(- ∞\) et de part et d’autre de zéro, valeur pour laquelle cette fonction n’est pas définie. Il faut donc déterminer quatre limites.

Les limites des fonctions de référence sont à connaître par cœur mais il est probable que c'est déjà le cas sans que vous sachiez qu’il s’agit de limites ! C’est la bonne nouvelle. Mais en général, il faudra faire preuve de subtilité car vous travaillerez sur des fonctions un peu plus élaborées. C’est la mauvaise nouvelle.

Les limites apparaissent dans le tableau de variation. Concrètement, une valeur (ou l’infini) doit désormais apparaître à gauche et à droite de chaque flèche.

Il existe une façon très rigoureuse de définir une limite. Nous la devons au mathématicien français du dix-neuvième siècle Augustin-Louis Cauchy. Si vous avez choisi l’option maths complémentaires, vous y échappez. Vous vous contenterez d’une approche intuitive : où semble se diriger la courbe représentative de la fonction ? Par exemple, en \(- ∞\) et en \(+ ∞\) l’hyperbole représentative de la fonction inverse s’approche de zéro. Ces deux limites sont effectivement zéro. À gauche de zéro, la limite est \(- \infty\) et à droite \(+ ∞.\)

Cette notion était dans l’esprit des mathématiciens dès l’Antiquité mais elle restait floue. Par exemple, pour déterminer la circonférence ou l’aire d’un cercle, Archimède a calculé le périmètre des polygones inscrits et circonscrits avec de plus en plus de côtés de façon à minimiser l’espace entre cercle et polygones. Le but était d’approcher au plus près le nombre \(π.\) Il a commencé avec des hexagones pour terminer avec des polygones à 96 côtés. Imaginez la quantité de calculs à laquelle il a dû s'astreindre avec des chiffres romains et vous goûterez davantage au plaisir de faire des maths aujourd’hui ! Bref, ne nous égarons pas. C’est bien l’idée de limite qu’Archimède avait en tête : plus on s’avance, plus on s’approche d’une valeur exacte sans toutefois y parvenir.

 

Limites des fonctions de référence

Le type de fonction le plus simple est celui de la fonction constante \(x \mapsto k\) avec \(k ∈ \mathbb{R}.\)

Les limites qui pourraient nous intéresser sont les limites à l’infini. Elles sont égales à \(k.\)

On l’écrit ainsi : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } f(x) = k\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = k\)

Pour une fonction affine ou une fonction linéaire, c’est tout aussi évident. Soit le coefficient directeur est positif et la fonction est croissante, auquel cas la limite en \(- ∞\) est \(- ∞\) et la limite en \(+ ∞\) est \(+ ∞\), soit ce coefficient est négatif et la fonction est décroissante. La limite en \(- ∞\) est alors \(+ ∞\) et la limite en \(+ ∞\) est \(- ∞.\)

La fonction carré ne doit pas vous poser de difficulté non plus. Le carré d’un nombre positif très grand est très grand (et positif), celui d’un nombre négatif très grand est lui aussi très grand mais positif. C’est limpide lorsqu’on regarde la parabole représentative de cette fonction.

On peut le formaliser comme ceci :

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2} =  + \infty \]

Il en est de même de toutes les puissances paires.

Nous avons évoqué plus haut la fonction inverse. Inutile d’y revenir. Graphiquement, sa représentation montre deux asymptotes (d’équations \(x = 0\) et \(y = 0\)).

Vous visualisez bien la courbe représentative de la fonction cube ? Et d’ailleurs de toutes les fonctions aux puissances impaires ? Alors vous avez la réponse à la question qui ne vous est d’ailleurs pas encore posée. La limite en \(- ∞\) est \(- ∞\) et celle en \(+ ∞\) est \(+ ∞\).

La fonction racine carrée est définie sur \([0\, ;+∞ [.\) Cela n’a pas beaucoup de sens de chercher la limite en 0 puisqu’on sait que \(\sqrt{0} = 0.\) En revanche,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt x  =  + \infty \]

Quant à la fonction exponentielle, nous vous en rappelons la courbe représentative. Devinez quelles sont les limites.


Bravo, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {e^x} = 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {e^x} =  + \infty \)

Terminons avec la fonction logarithme népérien, que vous n’avez peut-être pas encore abordée en classe.

Elle est définie sur \(]0\, ;+∞[.\) La limite en 0 est \(-∞\) et la limite en \(+ ∞\) est \(+ ∞.\)

Notez que l’écriture de la limite en 0 doit indiquer que l’on se situe à droite de 0 (puisqu’à gauche la fonction n’est pas définie).

On peut l’écrire de deux façons différentes. Jadis c'était plutôt comme ceci :

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln x =  - \infty \]

Aujourd’hui, on l’écrit plutôt ainsi, du moins dans le secondaire :

\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{x \to 0}\\
{x > 0}
\end{array}} \ln x =  - \infty \]

De même, pour la fonction inverse, on écrirait…

\[\mathop {\lim }\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{x \to 0}\\
{x > 0}
\end{array}} \frac{1}{x} =  + \infty \]

Maintenant, vous pouvez passer avec entrain aux opérations sur les limites. En page de limites de fonctions usuelles vous avez un rappel des limites explorées ci-dessus et quelques exercices d'application simples.