Exemples de limites avec développements de Mc Laurin
Les développements limités (DL) sont particulièrement utiles. Certes, ils ne nous apportent pas notre café mais ils sont tout à fait capables de nous aider à déterminer des limites particulièrement retorses.
À titre d’exemple, cette page présente trois exercices corrigés.
Exercice 1
Retrouver la célèbre limite de croissances comparées :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
Il s’agit d’une forme indéterminée de type \(\frac{0}{0}.\)
Pour être à peu près sûr de notre coup, nous irons jusqu’à l’ordre 3. On connaît le DL(0) de \(\ln(x + 1).\)
Rappel du DL de Mc Laurin :
\(\ln(x + 1)\) \(=\) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)\)
Nous avons du temps devant nous. Alors au lieu de prendre ce DL usuel pour argent comptant, nous allons, sinon le démontrer, du moins retrouver ses premiers termes.
Quelles sont les dérivées successives ?
\(f'(x) = \frac{1}{1+x},\) \(f''(x) = - \frac{1}{(1 + x)^2},\) \(f^{(3)}(x) = \frac{2}{(1 + x)^3}\)
Donc, \(f(0) = 0,\) \(f’(0) = 1,\) \(f’’(0) = -1\) et \(f^{(3)}(0) = 2\)
La formule de Mc Laurin, c’est-à-dire au voisinage de 0, est la suivante :
\(f(x) =\) \(f(0) + \frac{x}{1!}f'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0)+...+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0) + o(x^n)\)
Rappelons que le reste est négligeable. Donc, ici…
\(f(x) =\) \(0 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}...\)
Revenons à notre calcul de limite.
\(\frac{f(x)}{x} = 1 -\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3}...\)
On voit bien que lorsque \(x\) tend vers 0, la limite est égale à 1 ; nous aurions pu continuer le développement, on devine que tous les termes qui suivent le 1 tendent vers 0…
Exercice 2
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos x}}{{{x^2}}}\)
On sait que le cosinus de 0 est égal à 1 et que \(\ln 1 = 0.\) D'où une forme indéterminée de type \(\frac{0}{0}.\) Nous sommes à présent rodés sur la procédure : on développe à l’ordre 2 le numérateur et l’on s’arrange pour y faire apparaître l’expression du dénominateur. Enfin, d’un trait destructeur, nous simplifions.
Rappel du DL de Mc Laurin :
\(\cos x =\) \(1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}-...+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\)
On se contentera d’un développement d’ordre 2. Passons au DL(0) du logarithme. Il est plus simple de développer \(\ln(x + 1)\) que \(\ln x\) et ça tombe bien parce que si l’on présente le DL du cosinus comme \(\cos x - 1\) \(=\) \(-\frac{x^2}{2} + \mathscr{reste}\) on retombe directement sur le DL(0) de \(\ln \cos x\) puisque \(+1\) et \(-1\) s’annulent. À quoi ce DL(0) est-il égal ? Reprenons la formule rappelée en exercice 1. On remplace \(x\) par \(-\frac{x^2}{2}.\) On ne remplace pas le terme suivant puisqu’on obtiendrait une puissance 4 alors qu’on limite notre développement à l’ordre 2. Donc :
\(\ln \cos x = - \frac{x^2}{2} + \mathscr{reste}.\)
C’est bientôt fini.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}{{{x^2}}} = - \frac{1}{2}\]
C’EST fini.
Exercice 3
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - x)}}{{x(1 + x)}}\)
Encore une indétermination de type \(\frac{0}{0}.\)
DL de Mc Laurin :
\(\ln(1 - x)\) \(=\) \(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ... - \frac{x^{n+1}}{n + 1} + o(x^n)\)
Ce DL(0) usuel peut être retrouvé sans trop de difficulté avec la formule énoncée dans l’exercice 1.
On peut donc remplacer la fonction de départ par une autre, équivalente.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - x)}}{{x(1 + x)}}\]
\[= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - x - \frac{{{x^2}}}{2}}}{{x(1 + x)}}\]
\[= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 1 - \frac{{{x}}}{2}}}{{(1 + x)}} = -1\]
La preuve en image (sur GraphCalc) :
