Les sinus et cosinus

Sinus, cosinus et angles associés

Cette page s’inscrit dans un programme de maths de première générale. Elle introduit la notion d'angles associés.

Rappels

Rappel du cercle trigonométrique :

Soit $\alpha$ un réel et $M$ un point du cercle trigonométrique tel que l’angle formé par l’axe des abscisses et la demi-droite $[OM)$ (ou le vecteur $\overrightarrow {OM}$) soit égal à $\alpha.$ On appelle sinus de $\alpha$ l’ordonnée du point $M$ et cosinus de $\alpha$ son abscisse. Ils s’écrivent respectivement $\sin(\alpha)$ et $\cos(\alpha)$ (avec ou sans parenthèses). On peut d’ailleurs présenter cette mesure sous forme vectorielle : $\sin(\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v})$ et $\cos(\overrightarrow {u}, \overrightarrow {v}).$ Pour information, nous devons les abréviations $\sin$ et $\cos$ à William Oughtreed (1574-1660), inventeur de la règle à calcul circulaire et surtout du symbole × pour la multiplication.

Rappelons en outre que la mesure de $\alpha$ est égale à celle de $\alpha + 2k\pi,$ avec $k$ entier relatif.

Le rayon du cercle trigonométrique est égal à 1. Donc $OM = 1.$ Une simple application du théorème de Pythagore permet donc d’affirmer que, quel que soit $\alpha,$ on vérifie $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Autres conséquences du fait que le rayon est égal à 1, $-1 \leqslant\sin(\alpha) \leqslant 1$ et $-1 \leqslant\cos(\alpha) \leqslant 1.$

Angles associés

Un angle $\alpha$ possède quatre angles associés : $-\alpha,$ $\alpha + \pi,$ $\pi - \alpha$ et $\frac{\pi}{2} - \alpha.$ Grâce à eux, on comprend facilement certaines égalités.

Par exemple, la figure ci-dessous montre bien que $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$ mais aussi que $\sin(-\alpha)= -\sin(\alpha).$

De même, il est évident que $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$ et $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$ (ce qui se démontre aisément avec les formules d'addition) :

Nous nous passerons d’illustration mais vous avez peut-être deviné que $\sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$ et que $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha).$

Enfin, comme les angles de mesures $\alpha$ et $\frac{\pi}{2} - \alpha$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice, on peut affirmer que $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$ et  $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha).$

Bien sûr, vous pouvez apprendre ces égalités par cœur mais il est préférable qu’elles vous semblent si évidentes que leur apprentissage en devienne inutile !

Valeurs approchées

La calculatrice permet de déterminer des valeurs approchées (ou parfois exactes) des angles. Il faut d’abord s’assurer qu’elle est en mode radian.

Par exemple, $\sin(\frac{\pi}{5}) \approx 0,587785.$

Exercice

Simplifier l’expression suivante :

$A$ $=$ $\cos \left( {3\pi - x} \right)$ $+$ $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ $-$ $\sin \left( {\pi + x} \right)$

Éléments de correction

$A = \cos(\pi - x) + \cos(x) + \sin(x)$
$A = -\cos(x) + \cos(x) + \sin(x)$
$A = \sin(x)$

Vérification aléatoire à la calculatrice. Choisissons $x = 2.$

Il suffit d'entrer l'expression de l'énoncé en remplaçant $x$ par 2. La calculatrice nous indique 0,9092974268.

En entrant $\sin(2),$ on obtient le même résultat.

Vous trouverez un exercice un peu moins facile en page d'angles associés.