Équivalences et recherche de limites
Il n'est pas évident de faire appel à l'intuition pour comprendre ce qu'est l'équivalence entre deux fonctions. Pour dire les choses simplement, deux fonctions sont équivalentes en un point si ces deux fonctions se ressemblent comme deux gouttes d'eau au voisinage de celui-ci. À l'infini, la notion d'équivalence est hélas moins aisée à percevoir.
Fonctions équivalentes
Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage d’un point ou à l’infini si elles vérifient ceci :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 1\]
Pour cela, \(g\) ne doit pas être nulle. Ce calcul vérifie d'ailleurs une définition plus rigoureuse de l'équivalence, où \(a\) représente soit un réel soit l'infini :
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x)\left( {1 + \varepsilon (x)} \right)}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \varepsilon (x) = 0} \end{array}} \right.\]
On peut également dire que \(f\) est équivalente à \(g\) si \((f - g)\) est négligeable devant \(g.\)
Notation et propriétés
L'équivalence se note avec une espèce de vague. Illustrons-la avec une propriété des fonctions équivalentes : si \(f_1 \sim g_1\) et \(f_2 \sim g_2\) alors \(f_1f_2 \sim g_1g_2.\)
Cette vertu se vérifie avec la multiplication et la division mais ni avec l’addition, ni avec la composition.
À part ça, la relation d'équivalence est réflexive, symétrique et transitive. Bref, des qualités de bon aloi.
Attention à la composition. Si l'on a les équivalences \(f_1 \sim g_1\) et \(f_2 \sim g_2\) cela ne signifie pas que l'on vérifie \(f_1 \circ f_2 \sim g_1 \circ g_2.\)
Utilisation
L’utilisation de fonctions équivalentes est surtout utile pour lever l’indétermination de certaines limites. C’est ce que font les lycéens, sans toujours le savoir, lorsqu’ils utilisent les monômes les plus élevés pour déterminer une limite à l’infini (ou les moins élevés pour une limite en 0) :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \frac{{{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\) \(=\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \frac{{{x^2}}}{x}\) \(=\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } x\) \(=\) \(+ \infty \)
Ces égalités ne traduisent pas une simplification mais bien une ÉQUIVALENCE de limites (pour preuve, l'ensemble de définition est différent à chaque étape). Par quelle magie est-on passé de la première expression à la deuxième ? D'abord, factorisons.
Nous obtenons \(\frac{x^2\left(1+\frac{3}{x} + \frac {5}{x^2}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)}\)
Dès lors, on note que les seconds facteurs, du numérateur comme du dénominateur, ne valent guère mieux que 1 lorsque \(x\) tend vers l’infini.
Note : il est bien évident que pour une limite en une valeur FINIE, il serait malvenu de faire disparaître ces seconds facteurs.
À l’infini, ce n’est pas parce que deux fonctions sont équivalentes qu’elles se rejoignent. Il est même fréquent que l’écart qui les sépare soit lui-même infini. \(f \mapsto x^2 + 2x\) et \(g \mapsto x^2\) sont certes équivalentes sur l’infini mais leurs courbes représentatives se séparent inexorablement.
A contrario, ce n’est pas parce que deux fonctions ont pour limite l’infini qu’elles sont équivalentes. Prenez la fonction exponentielle, par exemple. Les limites infinies positives de \(f \mapsto e^x\) et de \(g \mapsto e^{x+1}\) sont toutes deux infinies mais si l’on fait le rapport de la seconde sur la première, on trouve \(e\) et non 1.
Exemples d'équivalences en zéro.
| \(\ln (1 + x) \sim x\) |
| \(e^x\sim (1 + x)\) |
| \(\sin x \sim x\) |
| \(\tan x \sim x\) |
Si l'on cherche une limite à l'infini, il est judicieux de procéder à un changement de variable en posant \(X = \frac{1}{x}.\) On cherche alors la limite lorsque \(X\) tend vers 0 (voir la fonction \( x \sin \frac{1}{x}\)).
Enfin, le développement limité d'une fonction en un point n'est autre que la recherche d'une fonction polynomiale équivalente.
Exemple
Soit une fonction \(f\) dont on cherche une limite à droite de 3.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{\sqrt {x - 3} }}\]
Nous sommes en présence d’une forme indéterminée de type \(\frac{0}{0}.\) Réjouissons-nous car -1 est une racine évidente du numérateur, lequel s’écrit donc \((x + 1)(x - 3).\) On remarque ensuite que \((x - 3)\) est le carré du dénominateur. Donc…
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x - 3} } \right)\left( {\sqrt {x - 3} } \right)}}{{\sqrt {x - 3} }}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x + 1)\sqrt {x - 3} \]
Or, la limite de la fonction étudiée est la même, à droite de 3, que celle de la fonction suivante, pourtant différente, et qui nous donne charitablement la limite :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} 4 \sqrt {x - 3} = 0\]
Pour les plus sceptiques, voici les courbes représentatives de la fonction initiale (en rouge) et de celle qui a permis de trouver la limite (en bleu). Réalisation avec Sine qua non.
Et alors ?
Mais, direz-vous, pourquoi se casse-t-on la tête à déterminer algébriquement une limite puisqu’il suffit de tracer une courbe avec un logiciel ou une calculatrice graphique ?
En pratique, les modélisations requièrent généralement PLUSIEURS variables, rendant impossible leur représentation graphique et donc la visualisation d'un comportement au voisinage d'un point ou de l'infini. C’est pourquoi cette page ne constitue qu’une infime partie d’introduction à ces modélisations… En économie et parfois en gestion, il n'est pas toujours facile d'étudier une fonction pour telle ou telle valeur alors qu'une fonction équivalente bien choisie est beaucoup plus docile. Cela étant, même une fonction équivalente d'une seule variable peut trouver avantage à simplifier une modélisation (voir page taux continu).
