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(et fondements mathématiques)

Les limites à l'infini

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Limites de fonctions à l'infini

Comment se comporte une fonction à l’infini ? Telle est la redoutable question à laquelle nous allons nous atteler. Pour y répondre, il faut introduire la notion de limite. Celle-ci peut être finie, infinie ou ne pas exister. Attention, contrairement aux limites de suites, on est souvent amené à déterminer la limite d’une fonction définie sur R en -∞.

La notion de limite est à la fois très intuitive et peu évidente. Intuitive si l’on s’imagine la courbe représentative d’une fonction : à l’infini, quelle valeur lira-t-on sur l’axe des ordonnées ? Peu évidente si l’on se réfère aux définitions qui font intervenir les intervalles ouverts.

Limite finie

Soit f une fonction et L un réel.

En +∞, f tend vers L si pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel a tel que pour tout xa, f(x) appartient à cet intervalle.

On note :

limite finie

En -∞, f tend vers L si pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un réel a tel que pour tout xa, f(x) appartient à cet intervalle.

Une illustration très simple est donnée par la fonction inverse. En +∞, elle prend des valeurs de plus en plus proches de L = 0 (en -∞ également).

Graphiquement, la droite d’équation y = L est appelée asymptote horizontale. En général, la courbe ne la coupe pas mais elle peut aussi osciller autour tout en réduisant l’amplitude de ses mouvements au fur et à mesure que x s’éloigne de l’origine. Pour information, il existe aussi des asymptotes verticales (voir page limites infinies en un point) et obliques.

Dernière précision : on trouve parfois une limite notée L+ ou L-. La limite est bien L mais cette écriture est un moyen commode de préciser si les valeurs prises par la fonction sont supérieures ou inférieures à L. Par exemple, en +∞, la fonction inverse tend vers 0+.

Limite infinie

Pour une valeur infinie de x, une fonction peut aussi prendre une valeur infinie, positive ou négative.

Quand x tend vers +∞, f tend vers +∞ si pour tout réel A il existe un réel a tel que, quel que soit x > a, f(x)A (et f tend vers -∞ si f(x)A).

Quand x tend vers -∞, f tend vers +∞ si pour tout réel A il existe un réel a tel que, quel que soit x < a, f(x)A (et f tend vers -∞ si f(x)A).

Par exemple, la fonction carré tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞ et vers +∞. La fonction racine carrée tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ (elle n’est pas définie sur -∞). Au vu des courbes représentatives, la limite infinie de la fonction racine saute moins aux yeux que celle de la fonction carré ; mais il est évident que la racine carrée d’un nombre infiniment grand est elle aussi infiniment grande…

Limite inexistante

À l’infini, la limite d’une fonction est unique. Cette règle implique qu’une fonction peut fort bien n’avoir aucune limite à l’infini. Exemple : la fonction cosinus.

Détermination de limites

On peut souvent conjecturer une limite à partir d’une courbe mais seul un calcul à partir d’une expression algébrique permet une certitude.

Les limites des fonctions usuelles sont à connaître. Elles sont d’ailleurs suffisamment évidentes pour ne pas avoir à passer des heures à les apprendre ! En général, il faut réécrire l’expression d’une fonction pour faire apparaître des fonctions usuelles. Ensuite, diverses opérations sur les limites doivent être maîtrisées. Celles-ci font sont largement décrites sur ce site mais survolons ici quelques principes simples.

Exemple 1 : soit la fonction affine f définie sur R par f(x) = 2x + 4. Graphiquement, elle est représentée par une droite. Celle-ci croît puisque son coefficient directeur est positif.

Par conséquent, la limite de f en -∞ est -∞ et sa limite en +∞ est +∞.

En revanche, si le coefficient directeur avait été négatif, la limite en -∞ aurait été +∞ et la limite en +∞ aurait été -∞.

Exemple 2 : soit la fonction g définie sur R par g(x) = -

Cherchons d’abord la limite en +∞. Nous savons que la fonction cube tend vers +∞. Mais g est l’OPPOSÉE de la fonction cube, donc :

limite en +inf

En -∞, une fonction de type xⁿ (n ∈ N) tend vers -∞ si n est impair. Là encore, nous devons changer le signe car g est l’opposée de la fonction cube.

limite en -inf

Exemple 3 : soit la fonction h définie sur R+* par :

h

Nous ne cherchons la limite qu’en +∞. Une règle importante à garder à l’esprit est que l’inverse d’un nombre très grand est proche de 0 et inversement. Donc, si la limite à l’infini de la fonction racine est +∞, son inverse est 0. Le fait de multiplier 0 par 2 ne change rien à l’affaire. La limite de h en +∞ est 0.

Remarque : on procède rarement à la recherche des limites de fonctions aussi simples ; les règles ci-dessus sont utilisées dans le cadre d'opérations sur limites.

Limites et tableaux de variations

Les limites à l’infini apparaissent sur les tableaux de variations. Exemple d'une fonction f ci-dessous :

fct carré

La limite en -∞ est +∞ et la limite en +∞ est également +∞.

On en déduit que la courbe représentative de f n'admet pas d'asymptote horizontale…

 

limite infinie

 

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