Limites de fonctions à l'infini
« L'infini, c'est long, surtout vers la fin » (Alphonse Allais).
Comment se comporte une fonction à l’infini ? Telle est la redoutable question à laquelle nous allons nous atteler. Pour y répondre, il faut introduire la notion de limite. Celle-ci peut être finie, infinie ou ne pas exister. Attention, contrairement aux limites de suites, on est souvent amené à déterminer la limite d’une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) en \(-\infty.\)
La notion de limite est à la fois très intuitive et peu évidente. Intuitive si l’on s’imagine la courbe représentative d’une fonction : à l’infini, quelle valeur lira-t-on sur l’axe des ordonnées ? Peu évidente si l’on se réfère aux définitions qui font intervenir les intervalles ouverts.
Limite finie
Soit \(f\) une fonction et \(L\) un réel.
En \(+\infty,\) \(f\) tend vers \(L\) si pour tout intervalle ouvert centré en \(L,\) il existe un réel \(a\) tel que pour tout \(x > a,\) \(f(x)\) appartient à cet intervalle.
On note :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\]
En \(-\infty,\) \(f\) tend vers \(L\) si pour tout intervalle ouvert centré en \(L,\) il existe un réel \(a\) tel que pour tout \(x >a,\) \(f(x)\) appartient à cet intervalle.
Une illustration très simple est donnée par la fonction inverse. En \(+\infty,\) elle prend des valeurs de plus en plus proches de \(L = 0\) (en \(-\infty\) également).
Graphiquement, la droite d’équation \(y = L\) est appelée asymptote horizontale. En général, la courbe ne la coupe pas mais elle peut aussi osciller autour tout en réduisant l’amplitude de ses mouvements au fur et à mesure que \(x\) s’éloigne de l’origine. Pour information, il existe aussi des asymptotes verticales (voir la page sur les limites infinies en un point) et obliques.
Dernière précision : on trouve parfois une limite notée \(L^+\) ou \(L^-.\) La limite est bien \(L\) mais cette écriture est un moyen commode de préciser si les valeurs prises par la fonction sont supérieures ou inférieures à \(L.\) Par exemple, en \(+\infty,\) la fonction inverse tend vers \(0^+.\)
Limite infinie
Pour une valeur infinie de \(x,\) une fonction peut aussi prendre une valeur infinie, positive ou négative.
Quand \(x\) tend vers \(+\infty,\) \(f\) tend vers \(+\infty\) si pour tout réel \(A\) il existe un réel \(a\) tel que, quel que soit \(x > a,\) \(f(x) > A\) (et \(f\) tend vers \(-\infty\) si \(f(x) < A\)).
Quand \(x\) tend vers \(-\infty,\) \(f\) tend vers \(+\infty\) si pour tout réel \(A\) il existe un réel \(a\) tel que, quel que soit \(x < a,\) \(f(x) > A\) (et \(f\) tend vers \(-\infty\) si \(f(x) < A\)).
Par exemple, la fonction carré tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) et vers \(+\infty.\) La fonction racine carrée tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) (elle n’est pas définie sur \(-\infty\). Au vu des courbes représentatives, la limite infinie de la fonction racine saute moins aux yeux que celle de la fonction carré ; mais il est évident que la racine carrée d’un nombre infiniment grand est elle aussi infiniment grande…
Limite inexistante
À l’infini, la limite d’une fonction est unique. Cette règle implique qu’une fonction peut fort bien n’avoir aucune limite à l’infini. Exemple : la fonction cosinus.
Détermination de limites
On peut souvent conjecturer une limite à partir d’une courbe mais seul un calcul à partir d’une expression algébrique permet une certitude.
Les limites des fonctions usuelles sont à connaître. Elles sont d’ailleurs suffisamment évidentes pour ne pas avoir à passer des heures à les apprendre ! En général, il faut réécrire l’expression d’une fonction pour faire apparaître des fonctions usuelles. Ensuite, diverses opérations sur les limites doivent être maîtrisées. Celles-ci font sont largement décrites sur ce site mais survolons ici quelques principes simples.
Exemple 1 : soit la fonction affine \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x + 4.\) Graphiquement, elle est représentée par une droite. Celle-ci croît puisque son coefficient directeur est positif.
Par conséquent, la limite de \(f\) en \(-\infty\) est \(-\infty\) et sa limite en \(+\infty\) est \(+\infty.\)
En revanche, si le coefficient directeur avait été négatif, la limite en \(-\infty\) aurait été \(+\infty\) et la limite en \(+\infty\) aurait été \(-\infty.\)
Exemple 2 : soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = -x^3.\)
Cherchons d’abord la limite en \(+\infty.\) Nous savons que la fonction cube tend vers \(+\infty.\) Mais \(g\) est l’OPPOSÉE de la fonction cube, donc :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = - \infty \]
En \(-\infty,\) une fonction de type \(f(x) = x^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) tend vers \(-\infty\) si \(n\) est impair. Là encore, nous devons changer le signe car \(g\) est l’opposée de la fonction cube.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty \]
Exemple 3 : soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par :
\[h(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}\]
Nous ne cherchons la limite qu’en \(+\infty.\) Une règle importante à garder à l’esprit est que l’inverse d’un nombre très grand est proche de 0 et inversement. Donc, si la limite à l’infini de la fonction racine est \(+\infty,\) son inverse est 0. Le fait de multiplier 0 par 2 ne change rien à l’affaire. La limite de \(h\) en \(+\infty\) est 0.
Remarque : on procède rarement à la recherche des limites de fonctions aussi simples ; les règles ci-dessus sont utilisées dans le cadre d'opérations sur limites.
Limites et tableaux de variations
Les limites à l’infini apparaissent sur les tableaux de variations. Exemple d'une fonction \(f\) ci-dessous :
La limite en \(-\infty\) est \(+\infty\) et la limite en \(+\infty\) est également \(+\infty.\)
On en déduit que la courbe représentative de \(f\) n'admet pas d'asymptote horizontale…
