Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les développements limités

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Développements limités de Taylor

Quand on étudie le comportement d'une fonction en un voisinage, la tâche s’avère parfois si compliquée qu’il est préférable d'utiliser une approximation linéaire. Pour reprendre l’image utilisée par O. Ferrier (Maths pour économistes, l’analyse en économie, t. 1 p. 202, de Boeck 2003), un architecte fait comme si « la Terre est plate à l’endroit où sera construit le bâtiment, c’est-à-dire qu’au voisinage d’un point (le bâtiment), il fait une approximation en linéarisant la courbure de la Terre ».

Au plus simple, il s'agit d'une approximation affine. Mais l'approximation peut être améliorée en utilisant une fonction polynomiale, donc une combinaison linéaire de puissances différentes. En l'occurrence, la fonction polynomiale dont le comportement est le plus proche possible de celui de la fonction à étudier autour du point qui nous intéresse ou de l'infini (on se donne tout de même un degré limite).

La propriété fondamentale est que, au voisinage du point x0, la fonction f est égale à f(x0) + f’(x0) + f’’(x0) + … + f(n)(x0) + R. Inutile de dériver jusqu’à l’ordre n qui peut être très élevé, voire infini, si l’on se satisfait d’une approximation. La somme des dérivées successives est appelée partie régulière, à laquelle s’ajoute un reste qui est une fonction négligeable. Cette propriété constitue une généralisation du théorème des accroissements finis (appliqué autant de fois que l’on retient de dérivées).

Le développement limité de Taylor est l’outil adapté à la situation. Un cas particulier, très pratique pour expliciter le mécanisme, est le développement au point x0 = 0. Il s’agit du développement de Mc Laurin, dont la formule est la suivante :

développement de Mc Laurin

Prenons l’exemple d’une fonction polynomiale f. L’avantage de choisir une telle fonction, c’est que l’approximation sera parfaite, c’est-à-dire qu’aucun reste ne traînera. L’inconvénient, c’est que le calcul ne sert strictement à rien puisqu’on retrouvera in fine notre polynôme de départ ! Mais les vertus pédagogiques demeurent…

Soit f(x) = 2 + 5 – x + 1. Observons les dérivées successives :

f’(x) = 6 + 10x – 1
f’’(x) = 12x + 10
f(3)(x) = 12.

Développons la fonction.

exemple (Mc Laurin)

On retrouve avec plaisir notre polynôme de départ.

Le développement limité peut servir à déterminer une limite ou mieux, à connaître l'équation d'une fonction représentée par une courbe asymptote.

Opérations et propriétés des parties régulières (au voisinage de 0)

La partie régulière possède la même parité que la fonction.

Si une combinaison linéaire de fonctions admet un développement limité d’ordre n, la partie régulière de la combinaison obtenue se présente comme la même combinaison des parties régulières.

Si deux fonctions admettent des développements limités d’ordre n, le produit de ces fonctions a pour partie régulière le produit des deux parties régulières, mais en éliminant les degrés supérieurs ou égaux à n.

La partie régulière d’ordre n d’un quotient de fonctions est le quotient des deux parties régulières d’ordre n. C’est l’occasion de s’entraîner aux divisions de polynômes

Si f et sa dérivée f’ admettent des développements limités d’ordre n et n – 1, la partie régulière de f’ n’est autre que la dérivée de la partie régulière de f. Cette propriété est bien sûr valable pour une fonction et sa primitive qui prend en 0 la valeur f(0).

Voir exemple d'utilisation en page d'exercices sur les limites avec exponentielle.

Le développement de Taylor

Nous avons vu le développement au point d’abscisse 0. Généralisons-le à tout point sur lequel une fonction est dérivable, ou à l'infini. Là aussi, nous obtiendrons une partie régulière et un reste (auquel nous ne nous intéresserons pas sur cette page).

La formule de Taylor ressemble fort à celle de Mc Laurin (on remarque que si k = 1 on retrouve l'approximation affine étudiée en classe de première) :

développement de Taylor

Exemple

Les développements limités constituent un pilier de l’analyse pour les économistes (et pour diverses autres professions respectables). Voyons une utilisation dans le cadre d’une démonstration. Le but de l’exercice est de trouver l’utilité de l’équivalent certain, u(wc).

Rappelons brièvement la théorie.

Soit u une fonction d’utilité. Le niveau de satisfaction dépend d’un niveau de richesse w. Un investisseur dispose d’un pactole évalué à w0 (c’est dire si c’est beaucoup…) et il souhaite placer tout ou partie de cette somme. La plus ou moins value escomptée est une variable aléatoire  (v.a) ñ dont l’espérance est nulle et la variance est égale à σ²(ñ). Le tilde est là pour rappeller qu’il s’agit d’une v.a.

Notre investisseur n’aime pas le risque, c’est là son moindre défaut. Il est d’ailleurs prêt à verser une somme d’argent pour l’éviter. C’est la « prime de risque », inférieure à l’espérance de gain pour que notre individu investisse. Sauf qu’ici, pour les besoins de la démonstration, il se trouve face à une situation foireuse où l’espérance est nulle…

Théoriquement, l’investisseur peut débourser une somme pour éliminer le risque de cet hasardeux investissement. C'est l’« équivalent certain » (noté wc). Son utilité est donc la même que l’espérance de l’utilité de la fortune actuelle impactée par l’espérance de l’investissement. En d’autres termes, u(wc) = E[u(w0 + ñ)].

Revenons à notre exercice. Il consiste d’abord à donner une approximation de la fonction u au point (w0 + ñ) par un développement de Mc Laurin arrêté au second ordre puis d’estimer l’espérance de cette fonction, valeur de u(wc). Si l’on reprend la formule de Mc Laurin, il suffit de remplacer 0 par w0 et x par ñ.

développement de Mc Laurin

Comme l’espérance de ñ est nulle on peut remplacer ñ par 0, sauf quand il est au carré puisque l’espérance n’a alors aucune raison d’être nulle…

2ème étape

Quelle est l’espérance de la fonction u ? Quittons le chapitre des développements limités. Le seul élément dont on va s’occuper est le carré de ñ dont on fait alors la moyenne. Et si l’espérance est nulle, la moyenne des carrés de ñ est égal à sa variance (Cf. le théorème de König). Donc…

équivalent certain

C’est l’utilité de l’équivalent certain.

 

développement limité

 

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