Les bornes

Majorants, minorants, bornes

 

La notion mathématique d’intervalle assez simple à comprendre, développée en classe de seconde. Pourtant, elle s’accompagne d’un vocabulaire précis, en principe enseigné en première année d’études supérieures.

Il s’agit du maximum vs minimum, du majorant vs minorant et de la borne supérieure vs inférieure.

Ci-dessous, \(I\) désignera toujours un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(x\) un réel.

 

Intervalle

Une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\) lorsque, \(\forall a \in I\) et \(\forall b \in I\), \([a\,;b] \in I.\)

 

Maximum et minimum

Ces notions sont elles aussi vues en classe de seconde, dans le cadre de généralités sur les fonctions (voir la page de notions sur les fonctions).

Soit \(b\) le maximum, ou plus grand élément de \(I\). Il est défini ainsi : \(b \in I\) et \(\forall x \in I,\;x \le b\)

Au contraire, le minimum a vérifie \(a \in I\) et \(\forall x \in I\), \(x \ge a.\)

Soit \(I = [a\, ; b]\)

Le minimum est \(a.\) On peut écrire \(\min [a\,;b] = a.\) Le maximum est \(b.\) On peut écrire \(\max [a\,;b] = b.\)

Maximum et minimum sont uniques. Mais attention, il n’y a pas toujours de maximum ou de minimum.

Lorsqu’un intervalle est infini, cela paraît aller de soi. Si \(I = [a\, ; +\infty[\), \(I\) admet \(a\) comme minimum mais il n’y a pas de maximum.

Il est moins évident qu’un intervalle ouvert n’a pas de minimum ou de maximum.

Ainsi \(b\) n’est pas le maximum de l’intervalle semi-ouvert \(I = [a \,;b[\) puisqu’il n’appartient pas à \(I.\) Cet intervalle n’a de maximum en raison de la densité de \(\mathbb{R}.\) En revanche, son minimum est bien \(a.\)

De même \(I = ]0\, ;10[\) n’a ni minimum ni maximum.

Il est fréquent qu’une suite ou, plus généralement une fonction, n’ait pas de maximum.

 

Majorant et minorant

Majorants et minorants n’appartiennent pas nécessairement à \(I.\)

Ainsi, \(M\) est un majorant de \(I\) si \(\forall x \in I\), \(x \le M\) et \(m\) est un minorant si \(\forall x \in I\), \(x \ge m.\)

Là encore, \(I\) n’est pas toujours majoré ou minoré. Si par exemple \(I = \mathbb{R}\), \(I\) n’a ni minorant ni majorant. De même, tous les nombres négatifs sont des minorants de \(\mathbb{R}_+\) mais cet intervalle n’a pas de majorant.

Exemple : soit \(I\) l’intervalle \([0\,; 2].\) L’ensemble des majorants de \(I\) est \([2\,; + \infty[.\) Ce dernier serait exactement le même si \(I\) était égal à \([0\, ;2[.\)

 

Bornes

La borne supérieure de \(I\), si elle existe, est le plus petit majorant de \(I.\) Elle se note \(\sup (I).\)

La borne inférieure de \(I\), si elle existe, est le plus grand minorant de \(I.\) Elle se note \(\inf (I).\)

Ce sont donc les bornes de l’intervalle, que celui-ci soit ouvert ou fermé, sauf s’il s’agit de l’infini. On peut tout de même noter \(\sup (I) = + \infty\) et \(\inf(I) = -\infty\) et on admet la locution de « borne infinie d'un intervalle ».

Formellement, on définit \(\sup (I)\) ainsi :

\[b = \sup (I) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\forall x \in I,\;x \le M}\\ {\forall \varepsilon > 0,\;\exists x \in I,\;x > M - \varepsilon } \end{array}} \right.\]

De même, \(\inf (I)\) :

\[a = \inf (I) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\forall x \in I,\;x \ge m}\\ {\forall \varepsilon > 0,\;\exists x \in I,\;x < m - \varepsilon } \end{array}} \right.\]

Ainsi, toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) admet une borne supérieure.

Soit \(I = ]a\,; b[\), \(a\) est la borne inférieure et \(b\) est la borne supérieure.

Lorsque les bornes existent, elles sont uniques. C’est très simple à démontrer. Si \(M\) et \(M'\) sont deux bornes supérieures, ce sont deux majorants. Donc si \(M\) est le plus petit des majorants, \(M \le M'\) et si \(M'\) est le plus petit des majorants, alors \(M' \le M.\) Donc \(M = M'.\)

Les intervalles bornés \([a\,;b]\), \(]a\,;b]\), \([a\,;b[\) et \(]a\,;b[\) ont tous pour longueur \(b-a.\)

Remarquez que la notion de borne est particulièrement employée. Mentionnons par exemple les bornes d'un ensemble de définition ou celles d'une classe d'une série statistique. Une suite est bornée lorsqu’elle admet une borne inférieure ET une borne supérieure.

Et avec deux intervalles \(I\) et \(J\) ?

\(I \subset J \Rightarrow \sup (I) \le \sup (J)\) et \(\inf (J) \le \inf (I)\)

\(\max(\sup(I)\,, \sup(J)) = \sup(I \cup J).\)

 

Exemple

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{n +2}{n+3}\) pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(n \ge 0\)

Donc \(u_0 = \frac{2}{3}\)

Cette suite est strictement croissante. En effet, si l’on étudie la fonction \(f:x \mapsto \frac{{x + 2}}{{x + 3}}\), sa dérivée \(f'(x) = \frac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) est strictement positive.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}} \right) = 1\)

\((u_n)\) admet donc un minimum qui est \(\frac{2}{3}\) mais n’admet pas de maximum.

Ses minorants sont \(]-\infty \,; \frac{2}{3}]\) et ses majorants sont \([1\,;+\infty[.\)

Sa borne inférieure est \(\frac{2}{3}\) et sa borne supérieure est 1.