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(et fondements mathématiques)

Quelques propriétés sur les limites de suites

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Suites : limite monotone et théorèmes d'encadrement

En classe de terminale, la recherche d’une limite de suite est une sorte de chasse au trésor. Alors qu’on manque d’éléments pour en apprécier les applications pratiques, elle apparaît comme un jeu intellectuel particulièrement stimulant (et si vous n’aimez pas ça, efforcez-vous de voir les choses sous cet angle !).

Trois types d’approches figurent au programme de terminale S.

1- Les suites de type qⁿ

Voir la page limites des suites de type qⁿ.

2- La limite monotone

Pour quiconque possède des notions sur les limites de suites, les théorèmes ne provoqueront aucune stupéfaction…

Une suite croissante et majorée admet une limite finie. Il en est de même d’une suite décroissante et minorée.

À l’inverse, une suite croissante non majorée admet pour limite +∞ et une suite décroissante non minorée admet pour limite -∞.

En fin de page, vous trouverez un exercice de convergence monotone issu d’une épreuve du bac S.

3- Les comparaisons

Là encore, des théorèmes formalisent des règles assez intuitives. Ils ne s’appliquent d’ailleurs pas uniquement aux suites mais aux fonctions à valeurs dans R (voir la page encadrement des fonctions).

A- Soit deux suites (un) et (vn). À partir d’un certain rang, vn ≥ un. Par ailleurs, la limite de (un) est +∞. On en conclut que la limite de vn est également +∞.

Réciproquement, si à partir d’un certain rang vn ≤ un et si la limite de (un) est -∞, alors la limite de vn est -∞.

Exemple : soit (un) la suite définie sur N par un =  + sin n. Quelle est la limite de (un) ?

Nous sommes embêtés avec la suite sin n qui n’admet aucune limite… Nous savons juste que -1 ≤ sin n ≤ 1. En revanche, il est de notoriété publique que la limite de est +∞.

Minorons (un) par une suite qui a pour limite +∞.

Comme sin n ≥-1, alors  + sin n ≥  – 1. Or :

limite

Par conséquent, la limite de la suite (un) est +∞.

B- Si (un) est croissante et si sa limite est un réel, alors tous les termes de (un) sont inférieurs ou égaux à ce réel.

Évidemment, si (un) est décroissante et si sa limite est un réel, alors tous les termes de (un) sont supérieurs ou égaux à ce réel.

C- Enfin, le théorème de l’encadrement, ou des « gendarmes ». Soit trois suites (un), (vn) et (wn). À partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn. Si les limites de (un) et de (wn) sont un même réel, alors la limite de (vn) est elle aussi ce réel.

Exemple : déterminons la limite de la suite (un) définie par :

un

Nous savons que (-1) est égal à -1 si n est impair et à 1 si n est pair. Nous pouvons donc écrire -1 ≤ (-1)  ≤ 1. Il s’ensuit que :

inégalité

Notre suite est à présent encadrée.

La limite des deux suites encadrantes est parfaitement connue : c’est zéro.

limites nulles

Grâce au théorème de l’encadrement, nous concluons que la limite de (un) est 0.

L’exercice qui suit est extrait de l’épreuve du bac S de septembre 2008, Polynésie.

Exercice

On considère la suite (vn) définie sur N par :

v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,4 vn – 0,05 vn²

1) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 1,4x – 0,05x²

a) Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle (0 ; 8].

b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ vn < vn+1 ≤ 8

2) En déduire que la suite (vn) est convergente et déterminer sa limite l.

Corrigé

1) a) Étudions les variations de la fonction f. Nous avons le choix entre une déduction directe à partir de f ou l’étude du signe de sa dérivée. Optons pour cette dernière.

Soit f’ la dérivée de f ; f’ = -0,1vn + 1,4

-0,1vn + 1,4 = 0 équivaut à vn = 14. Or 14 > 8 et f’ est strictement décroissante. Donc f’ est strictement positive sur l’intervalle [0 ; 8] et f est strictement croissante.

b) La récurrence.

Initialisation : v0 = 6 et v1 = (1,4 × 6) – (0,05 × 36) = 6,6. Nous avons bien 0 ≤ vn < vn+1 ≤ 8

Hérédité : supposons que vn est vraie pour un entier naturel n fixé.

Nous avons vn+2 = f(vn+1). D’après la question a), f est croissante sur [0 ; 8]. Par conséquent, 0 ≤ f(vp) ≤ f(vp+1) ≤ 8 et donc 0 ≤ vp+1 ≤ vp+2 ≤ f(8). Or, f(8) = 8. L’hérédité est démontrée.

Conclusion : 0 ≤ vn ≤ vn+1 ≤ 8.

2) La suite (vn) est croissante et majorée par 8. Selon le théorème de la limite monotone, elle est convergente.

À l’infini, vn = 1,4vn – 0,05vn²

⇔ 0,05vn² – 0,4vn = 0
⇔ vn(0,05vn – 0,4) = 0
vn = 0 ou 0,05vn = 0,4 (il est impossible qu’à l’infini vn soit nul)
⇔ vn = 8

La limite de (vn) est donc 8.

 

encadrement

 

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