Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le changement de variable

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemples de substitutions de variables

Parmi les ruses qui permettent de venir à bout d’opérations difficiles figure le changement de variable. Sur cette page sont présentées quelques situations par ordre croissant de difficulté, dont le niveau commence en classe de première pour s'achever dans le supérieur.

Situation 1 : équation bicarrée

Il s’agit de résoudre l’équation pour laquelle un polynôme d’ordre 4 est égal à zéro, alors qu’il n’y a ni degré 3 ni degré 1. En posant X = x², on obtient un banal trinôme

Pour quelles valeurs de x la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = x⁴ – 5 + 4 coupe-t-elle l’axe des abscisses ?

On pose X = x². Donc on doit résoudre l’équation  – 5X + 4 = 0. Le discriminant est égal à 9. Les racines sont X1 = 1 et X2 = 4. Donc les valeurs de x qui vérifient l’équation sont les racines carrées de ces valeurs et leurs opposés. S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}. Représentation graphique en page divisions de polynômes.

Situation 2 : lois de probabilité

Voir la page transformation affine d'une variable aléatoire.

Situation 3 : autres équations

Une expression qui revient plusieurs fois dans une équation peut être remplacée par une nouvelle inconnue X dans un premier temps avant d’en déduire notre x de départ.

Exemple avec logarithmes népériens : (ln x)² – 5 ln x + 4. On pose ln x = X et nous voici revenus à l’exemple précédent. Puis on revient à x. Les solutions apparaissent dans toute leur splendeur : S = {e ; e⁴}.

Voir également les pages exponentielle et équations trigonométriques (changement de variable pour là aussi ramener des équations à l’étude d’un trinôme).

Situation 4 : systèmes

Voir la page exemples de systèmes d’équations.

Situation 5 : régressions

Bien que les calculatrices et les logiciels résolvent les régressions les plus improbables, on peut être amené à passer par un changement de variable pour parvenir à l’équation d’une régression linéaire simple (opération autrefois très courante aux épreuves du bac ES).

Exemple tiré de l’épreuve du bac ES, Pondichéry 2011. Un webmaster s’intéresse au nombre de pages visitées (en milliers et par semaine) suivant l’ouverture du site. Un nuage de points indique qu’un ajustement exponentiel est davantage adapté qu’un ajustement affine. La variable y est alors remplacée par z = ln y :

exemple pour régression

On procède alors à un ajustement affine avec la calculatrice. On trouve z = 0,25x + 3,33. Il reste à retrouver notre cher y.

Donc ln y = 0,25x + 3,33, alors y = e0,25x × e3,33 ≈ 27,94 e0,25x

Situation 6 : intégrale

Recourir au changement de variable pour résoudre une intégrale peut s’avérer une opération bien pratique. Le but avoué est d’obtenir une fonction plus simple à intégrer. Mais attention, les bornes de l’intégrale ne sont plus les mêmes et surtout, l’élément différentiel est modifié.

On démontre facilement avec la formule de dérivation des fonctions composées que, u(t) étant une fonction qui vient se substituer à x :

formule d'intégration avec changement de variable

À titre d’exemple, intégrons ceci :

exemple d'intégrale

Choisissons u(t) = ln x. La dérivée u’ ne vaut guère mieux que 1 / x. Les nouvelles bornes sont ln 4 et ln e c’est-à-dire 1. Donc du = dx × (1 / x) et, juste retour des choses, dx = xdu.

L’étape suivante consiste à éliminer impitoyablement les x de la fonction à intégrer. Si la manœuvre est impossible, il faut revenir au point de départ puis explorer une autre piste.

processus de l'intégration

Ce cheminement nous conduit à ln (ln 4) – ln 1, soit environ 0,3266.

Situation 7 : limites, courbes asymptotes

La recherche d’une limite à l’infini de f(x) peut conduire à chercher la limite en zéro de f(u) avec u = 1 / x. Des exemples de changements de variables figurent en page logarithmes et croissances comparées (niveau terminale S).

Ainsi, une limite en zéro peut amener un développement limité de Mc laurin. Cette opération permet de constater si une courbe représentative d’une fonction polynomiale est asymptote à la courbe de f.

Situation 8 : complexes

Un exemple d'équation dans l'ensemble C des nombres complexes figure en page exercices avec complexes.

 

changement de note

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés