Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les asymptotes

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Asymptotes horizontales, verticales et obliques

Dans les filières générales, les asymptotes ne sont désormais enseignées qu'en terminale S.

Graphiquement, une asymptote à une courbe représentative d'une fonction est une tangente à l’infini. On verra dans un premier temps les droites asymptotes, enseignées au lycée, puis les courbes asymptotes. Ces « directions », ainsi que les branches paraboliques, prennent le nom de branches infinies.

Les asymptotes verticales et horizontales

Graphiquement, une asymptote est une droite vers laquelle tend une courbe représentative d'une fonction sans jamais l’atteindre. On parle donc d'asymptote à une COURBE mais pas à une FONCTION puisque c'est une notion graphique.

Elle est verticale en x = a si la limite d’une fonction f au voisinage de a tend vers l’infini et que f(a) n’existe pas (voir courbe en page logarithme). La courbe représentative d'une fonction peut rencontrer une infinité d’asymptotes verticales (fonction tangente, par exemple). Dans le plan d’étude d’une fonction, une asymptote verticale apparaît rapidement : dès lors que le domaine de définition n’est pas l'ensemble des réels, on cherche si les limites aux bornes de ce domaine sont infinies.

Une asymptote est horizontale si la limite de la fonction à l’infini est égale à un réel. Voir un exemple en page exponentielle. Il ne peut pas exister plus de deux asymptotes horizontales (une pour chaque signe de l'infini).

Exemple : la fonction inverse n’est pas définie pour x = 0 et l’inverse d’un nombre infiniment petit est infiniment grand. Par ailleurs, la limite à ±∞ de 1 / x tend vers zéro. L'hyperbole représentative de cette fonction admet donc deux asymptotes, l’une verticale et l’autre horizontale (d'équation y = 0)

Ces deux types d’asymptotes apparaissent clairement sur le tableau de variation.

tableau de variation 1/x

Asymptotes obliques

Lorsqu’une limite à l’infini est infinie, il est possible qu’une asymptote oblique existe. Elle s’écrit sous la forme y = ax + b puisqu’elle est l'expression d'une fonction affine.

Selon l'expression de la fonction, on se tourne vers l'une des techniques suivantes.

Première technique. Elle suppose que l'on a déjà une petite idée de l'équation de la fonction affine dont la droite représentative serait asymptote. On cherche la limite à l’infini de l'ÉCART entre la courbe et son asymptote candidate. Si celui-ci tend progressivement vers zéro, c’est gagné…

À titre d’exemple, prenons la fonction suivante, représentée par une courbe Cf :

fonction avec asymptote oblique

Il est clair que la droite D d’équation y = 3x + 4 est asymptote à Cf puisqu’à l’infini, l’élément (5 / (x + 2)) tend vers zéro… On peut d’ailleurs être plus précis : en +∞, cet élément tend vers 0+, donc f(x) – (3x + 4) > 0 et Cf est au-dessus de D. Inversement dans les bas-fonds de moins l'infini.

Deuxième technique : lorsque l'expression de la fonction est la division d'un polynôme par un autre de degré immédiatement inférieur, on fait apparaître l'équation de l'asymptote grâce à une division de polynômes (celui du numérateur par celui du dénominateur).

Troisième technique : si la limite à l'infini de f(x) / x est le réel a, alors il existe une asymptote oblique de coefficient directeur a. Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on retire ax à la limite de f(x).

Exercice (niveau terminale S)

Faisons connaissance avec la fonction suivante :

exemple

Votre mission, si vous l’acceptez, sera de démontrer que sa courbe représentative Cf admet une asymptote d’équation y = x + 2 sur plus l’infini.

Procédure : il faut d’abord soustraire x + 2 de l’expression de f(x), puis faire le ménage pour obtenir une expression présentable et enfin vérifier que la limite à l’infini est nulle.

Allons-y. Une soustraction comportant une expression sous radical nous incite à utiliser les quantités conjuguées.

quantités conjuguées

Si l’on enjolive le numérateur, on obtient tout simplement -1. Il est également possible d’améliorer l’expression du dénominateur mais ce ne sera pas indispensable pour la suite puisqu’il est clair qu’à plus l’infini, il tend vers plus l’infini. Traduction :

limite

Conclusion : la droite d’équation y = x + 2 est bien asymptote à Cf.

Autres types d'asymptotes

En page courbes asymptotes et branches paraboliques, vous apprendrez qu'une asymptote n'est pas forcément droite et qu'un axe peut indiquer une direction à une courbe sans pour autant être son asymptote.

Asymptotes et statistiques

Enfin, les statisticiens évoquent souvent les comportements asymptotiques. C'est souvent pour montrer que plus un échantillon est grand, plus l'un aspect du calcul devient négligeable (estimateur asymptotiquement sans biais...).

Mentionnons aussi le comportement asymptotique des lois de probabilité. Je prendrai pour exemple une loi de Poisson qui tend asymptotiquement vers une loi normale lorsque son espérance augmente. Si l’on choisit une densité de probabilité en ordonnée et un nombre de réalisations en abscisses, il faut ensuite faire évoluer les deux courbes au fur-et-à-mesure que le paramètre augmente (celui-ci étant à la fois l’espérance et la variance des deux lois) jusqu’à ce qu’elles se confondent presque. Je n’ai hélas pas intégré d’animation sur ce site web et je laisse à votre féconde imagination de soin de vous représenter ce qu'est dans ce cas un comportement asymptotique.

 

noirs filiformes

 

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