Quelques rappels sur les asymptotes, ça vous tente ? Oui ? OK, suivez-moi…

Une asymptote est une tangente à l’infini.

On verra dans un premier temps les droites asymptotes, telles qu’elles sont enseignées au lycée, puis les courbes asymptotes.

Les droites

Graphiquement, une asymptote est une droite vers laquelle tend une courbe représentative d'une fonction sans jamais l’atteindre.

Elle est verticale en x = a si la limite d’une fonction f au voisinage de a tend vers l’infini et que f(a) n’existe pas (voir courbe en page logarithme). Il peut exister une infinité d’asymptotes verticales (fonction tangente, par exemple). Dans le schéma d’étude d’une fonction, elle apparaît rapidement. Dès lors que le domaine de définition n’est pas R, on cherche si les limites aux bornes de cet ensemble sont infinies et d’ailleurs elles le sont souvent…

Elle est horizontale si la limite de la fonction à l’infini est égale à un réel l. Voir un exemple en page exponentielle. Il ne peut pas exister plus de deux asymptotes horizontales (une pour chaque signe de l'infini).

Exemple :

La fonction inverse, c'est-à-dire y = 1 / x, n’est pas définie pour x = 0 et l’inverse d’un nombre infiniment petit est infiniment grand. Par ailleurs, la limite à ± ∞ de 1 / x tend vers zéro. Cette fonction admet donc deux asymptotes, l’une verticale et l’autre horizontale (voir ci-dessous, réalisation sur Microsoft Math) :

Ces deux types d’asymptotes apparaissent clairement sur le tableau de variation.

Lorsqu’une limite à l’infini tend vers l’infini, il est possible qu’existe une asymptote oblique. Elle s’écrit sous la forme y = ax + b puisqu’elle est affine. Mais là, il n’existe pas de moyen facile de la déceler à moins de détecter une expression de type affine + élément tendant vers 0 sur ± ∞.

En effet, on cherche cette fois la limite à l’infini de la DIFFÉRENCE entre la courbe et son asymptote supposée. Si l’on trouve zéro, c’est gagné…

À titre d’exemple, prenons la fonction suivante, représentée par une courbe C :

Il est évident que la droite D d’équation y = 3x + 4 est asymptote puisqu’à l’infini, l’élément (5 / (x + 2)) tend vers zéro… On peut d’ailleurs être plus précis. En + ∞, cet élément tend vers 0+, donc f(x) – (3x + 4) > 0 et C est au-dessus de D. Inversement en dans les bas-fonds de moins l'infini.

Les courbes asymptotes

Une courbe peut elle aussi constituer une asymptote à une autre courbe. Le raisonnement est exactement le même qu’avec l’asymptote oblique. Un autre exemple simple :

Sur le même principe, on voit immédiatement qu’à l’infini, cette fonction se confondra presque avec la fonction carrée. Illustration sur GoeGebra, où la courbe représentant f(x) est rouge et celle représentant la fonction y = x² est bleue :

Enfin, les statisticiens évoquent souvent les comportements asymptotiques. C'est souvent pour montrer que plus un échantillon est grand, plus un aspect du calcul devient négligeable (estimateur asymptotiquement sans biais, approximation d'une loi hypergéométrique par une binomiale...). L'emploi de cet adjectif et de cet adverbe est un peu abusif dans la mesure où la valeur prise à l'infini peut être dépassée dans un sens puis dans l'autre un grand nombre de fois.

Mentionnons en outre le comportement asymptotique des lois de probabilité. Je prendrai pour exemple une loi de Poisson qui tend asymptotiquement vers une loi normale lorsque son espérance augmente. Si l’on choisit une densité de probabilité en ordonnée et un nombre de réalisations en abscisses, il faut ensuite faire évoluer les deux courbes au fur-et-à-mesure que le paramètre augmente (ce paramètre étant à la fois l’espérance et la variance des deux lois) jusqu’à ce qu’elles se confondent presque. Malheureusement, je n’ai pas intégré d’animation sur ce site web. Je laisse à votre féconde imagination de soin de représenter ce qu'est dans ce cas un comportement asymptotique.