Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Logarithmes et croissances comparées

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Limites de fonctions avec logarithmes

Cette page est adaptée au niveau de terminale S.

Ce n’est un secret pour personne, la limite en 0 de la fonction logarithme plonge dans les ténébreuses profondeurs de moins l’infini et sa limite en plus l’infini se perd dans l'immensité cosmique de plus l’infini.

Qu’en est-il des fonctions composées avec la fonction logarithme ?

Parfois, aucun doute n’est permis. Par exemple, la limite à l’infini d’une fonction f définie par f(x) = x ln x est bien sûr infinie (multiplication de deux valeurs infinies positives). Mais parfois, on semble se trouver coincé entre deux forces contraires. Voyons dans quelles circonstances.

formule n°1

formule n°2

...et a fortiori lorsque x est élevé à une puissance entière. Ainsi, pour tout n entier naturel non nul :

formule n°3

formule n°4

Par conséquent, pour lever l'indétermination de limites, on doit penser que dans ce jeu de forces contraires, x « l’emporte » sur ln x.

Mentionnons enfin la limite suivante (une démonstration possible apparaît en page calculs de limites avec développement limité mais elle se situe en-dehors du programme de la terminale S) :

formule n°5

Une mise en pratique s’impose…

Exercice 1

Démontrer la deuxième formule à partir de la première.

Exercice 2

Déterminer :

ex 2

Exercice 3

Déterminer :

ex 3

Corrigé 1

Partons de la première formule :

formule n°1

Nous utiliserons un changement de variable. Ainsi, X = 1 / x. C’est le fait de chercher une limite en zéro d’un produit à partir d’une limite à l’infini d’un quotient qui doit vous mettre la puce à l’oreille et vous orienter vers cette astuce.

Nous obtenons :

changement de variable

Utilisons à présent une propriété des logarithmes. Notre recherche devient celle-ci :

propriété

Le travail est fait !

conclusion

Corrigé 2

Là encore, le changement de variable permet de résoudre rapidement l’exercice. Soit x – 1. On retrouve une formule du cours agrémentée d’une multiplication par 2.

corrigé 2

Corrigé 3

Il s’agit d’une forme indéterminée de type +∞ + (-∞).

L’idée est de se rapprocher de la première formule en factorisant par x.

factorisation

Le terme qui nous pose problème doit être « retravaillé », bien que nous nous doutons du résultat.

terme retravaillé

Par croissance comparée, nous savons que :

formule n°1 modifiée

À l’infini, une fonction rationnelle se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.

limite de fonction rationnelle

Par somme…

par somme

Par produit…

par produit

C’est la limite que nous cherchions.

 

croissances comparées

 

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