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(et fondements mathématiques)

La limite d'une suite

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Limites des suites et représentations graphiques

Une suite se présente comme une liste de nombres « numérotés ». Si elle est définie sur N, elle est infinie. Et à l’infini, quelles valeurs prennent ses éléments ? That is the question. Pour connaître la réponse, il faut chercher la limite de la suite.

Lorsque cette limite est un réel, la suite est CONVERGENTE. Sinon elle est DIVERGENTE, soit que la limite est infinie, soit qu’elle n’existe pas (voir la page d'initiation aux suites convergentes et divergentes).

À titre d'exemple, la célèbre suite (un) définie sur N par un = (-1)n est périodique, bornée mais divergente.

Vous l’aurez deviné sans mal, toute suite strictement croissante non majorée tend vers plus l’infini et toute suite strictement décroissante non minorée tend vers moins l’infini. A contrario, les croissantes majorées ainsi que les décroissantes minorées convergent (Cf. théorème de la convergence monotone, qui permet de déceler des comportements asymptotiques). Attention toutefois à la distinction entre limite et majorant (ou minorant). Une suite n’est pas forcément monotone et peut dépasser sa limite puis tendre vers elle, comme un encéphalogramme qui devient progressivement plat.

Si l'expression de la suite se présente comme celle d'une fonction, on utilise la panoplie d’outils permettant de déterminer la limite d’une fonction. Bien entendu, la seule limite recherchée est celle de « plus l’infini » (voir la page opérations sur les limites de suites).

La recherche d'une limite de suite arithmétique ne mérite aucun calcul. Soit la raison est positive et c'est « plus l’infini », soit elle est négative et c'est « moins l’infini ».

De même, une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre -1 et 1 converge à coup sûr vers zéro. Attention, si elle est égale à 1, la suite est constante (converge vers u0) mais si elle est inférieure ou égale à -1, la suite diverge et n’admet pas de limite. Voir les différents cas en page limites de suites géométriques.

Il existe une façon graphique de représenter une suite, du moins si elle converge (la représentation d’une suite divergente n’étant pas d’un intérêt majeur). Les étapes de construction figurent en page représentation d'une suite et sont brièvement rappelées ci-dessous. Pourquoi évoquer ces représentations ? Parce qu'elle permettent très souvent de conjecturer une limite. En effet, il peut être judicieux de procéder à cette étape préalablement au calcul.

Prenons l’exemple simple d’une suite arithmético-géométrique, donc de type un+1 = aun + b avec a compris entre -1 et 1 exclus pour qu’elle converge.  Imaginons (un) définie sur N par un+1 = 0,3un + 2 avec u0 = 1. Graphiquement, la limite est visualisée comme le point de rencontre entre la première bissectrice (y = x) et la courbe représentative de la suite.

Traçons la droite de la fonction affine d’équation y = 0,3x + 2 et la droite d’équation y = x. Lorsque les deux se croisent, c’est que = 0,3+ 2, donc = 2 / 0,7, soit 2,85714...

suite arithmético-géométrique

Une fois la suite initialisée, ici au point d’abscisse 1, on « rebondit » horizontalement sur la droite (ou la courbe) représentant la fonction jusqu’à la première bissectrice. Le point d’impact nous donne la valeur de u1. Même technique pour trouver les valeurs suivantes. Comme on s’en doute, la limite est au croisement des deux droites, au point d’abscisse 2,85714…

Un tableur constitue un outil merveilleux pour lister les premiers termes d’une suite :

premiers termes

Notons que si u0 avait été supérieur à 2,85714…, la suite aurait été décroissante et serait parvenue au même point mais, graphiquement, en arrivant du nord-est.

Deuxième exemple où un+1 est la racine carrée de un. C’est donc une suite géométrique de raison 0,5. On initie la suite n’importe où. Prenons 4. Les premières valeurs de un sont alors les suivantes :

premiers termes

Le graphe montre que la suite converge vers 1 (fonction racine carrée en rouge).

suite racine carrée

Nombres particuliers

Certains nombres peuvent être appréhendés comme des suites, spécialement lorsque le nombre de décimales est infini. Il est facile de montrer que ces suites sont convergentes puisqu'elles sont majorées et croissantes (par définition).

Ainsi, la constante de Champernowne est le réel qui s'obtient en ajoutant progressivement les entiers successifs en fin de décimale. En terme de suite, on a par exemple, u12 = 0,123456789101112.

 

suite et fin

 

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