Cette page évoque quelques rudiments sur la fonction exponentielle, qui fait partie du bagage indispensable de tout professionnel utilisant des techniques quantitatives.

Cette fonction, continue et strictement croissante et positive, a l’honneur d’être la seule fonction non seulement dérivable sur l’ensemble des réels mais surtout telle que f’ = f, avec f(0) = 1. Le nombre réel exp (1) est nommé « e » et est approximativement égal à 2,71828183.

On a le choix d'écriture : exp(x) ou e^x.

e est la base du logarithme népérien puisque la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction ln. Conséquence, son emploi permet de supprimer d'inconvenants logarithmes. Exemple, si ln x = 2, alors x = e².

Les opérations algébriques permisent par l'exponentielle sont enseignées aux classes de terminale. Il ne s'agit que des opérations habituelles sur les puissances. Tenez, par exemple : exp (x + y) = exp (x) × exp (y). Et, comme toute puissance nulle, e⁰ = 1.

La fonction

Les limites de la fonction se devinent sur la courbe représentée plus bas :

Croissances comparées, pour n entier non nul (l’exponentielle l’emporte sur la puissance) :

Très important : la dérivée de exp(u) : (e^u)' = u'e^u. Si u est égal à x, u’ est donc égal à 1. Si bien que, comme je l’ai indiqué plus haut, (e^x)’ = e^x.

La courbe représentant la fonction est bien connue (réalisation sur Sine qua non) :

Enfin, le nombre e est la limite à l'infini de la suite u_n = [1 + (1 / n)]ⁿ, et donc de la fonction f(x) = [1 + (1 / x)]^x. Cette propriété est utilisée par les modèles financiers construits à partir d'un taux d'intérêt composé continu. Soit x une division de l'année. On détermine un taux continu en cherchant la limite à l'infini du taux annuel i divisé par x. Donc, la limite à l'infini de l'intérêt composé [1 + (i / x)]^x est eⁱ.

Exercice d’application

Nous connaissons maintenant les règles du jeu. Un exercice assez complet nous est fourni par cet extrait de l’épreuve du bac ES Asie, juin 1998.

« Soit f la fonction de variable réelle x, définie sur R par :
f(x) = e^x(e^x + a) + b où a et b dont deux constantes réelles.
Les renseignements connus sur f sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous.

1. Calculer f’(x) en fonction de a (f’ désigne la fonction dérivée de f).

2. a) Déterminer a et b en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci-dessus.

b) Calculer f(0) et calculer la limite de f en +∞.

3. Résoudre dans R l’équation e^x(e^x – 2) – 3 = 0 (on pourra poser X= e^x). »

Corrigé

1. La fonction se présente sous forme d’un produit et d’une constante dont on n’a rien à faire. Donc, (uv)’ = u’v + v’u avec u = u’ =e^x, v = e^x + a et v’ = e^x et f’(x) = e^x(e^x + a) + e^xe^x. Factorisons. Nous obtenons f’(x) = e^x(e^x + a + e^x), soit f'(x) = e^x(2e^x + a).

2. Après la dérivation, jouons à l’identification. Le tableau de signes nous indique que f’(0) = 0. Remplaçons. Nous avons e⁰(2e⁰ – a) = 0 et comme e⁰ = 1, on décèle bien vite la vérité : a n’est autre que -2. Quant à la constante b, elle se découvre grâce à la limite en moins l’infini. On sait que, dans ces contrées lointaines, e^x flirte avec zéro. Il ne nous reste donc plus que la mystérieuse constante b qui se trouve être égale à la limite… D'où b = -3.

À présent, notre fonction n’a plus aucun secret : f(x) = e^x(e^x – 2) – 3. Le calcul de f(0) ne présente alors pas la moindre difficulté puisque 1(1 – 2) – 3 = -4. Quant à la limite en plus l’infini, elle est de plus l’infini. Ce n’est même pas une forme indéterminée.

3. En passant, l’énoncé nous fournit aimablement la solution de l’identification. Procédons au changement de variable X = e^x comme nous y sommes invités.

X(X – 2) – 3 = X² – 2X – 3 = 0. Banal polynôme du second degré. Si vous avez oublié la façon de le résoudre, rendez-vous en page racines d’un trinôme. Deux solutions existent : -1 et 3.

Au moment où nous devons revenir à e^x, stupéfaction : l’exponentielle étant toujours positive, -1 est recalé. La seule solution acceptée vérifie donc l'égalité e^x = 3, c’est-à-dire que x = ln 3. La courbe représentative de la fonction f traverse l’axe des abscisses au point (ln 3 ; 0) et pas ailleurs.

Exercices d'entraînement à la manipulation d'exponentielles : voir pages exercices avec logarithmes et exponentielles, extremums et dérivées successives.

Utilité en statistiques

Impossible de recenser tous les emplois de la fonction exponentielle. En voici quelques uns, appliqués aux techniques évoquées sur ce site :

La régression sur tendance exponentielle : assez rare, il s’agit d’une régression « dangereuse » car on ignore quand un retournement surviendra. La régression sur tendance logistique est davantage employée.

Lois de probabilité : la plupart des lois de probabilité usuelles intègrent l’exponentielle dans leur formule de densité, au premier rang desquelles.... la loi exponentielle.

Régression logistique : les fonctions de transfert intègrent également les exponentielles dans leurs expressions.