Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La fonction exponentielle

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Notions sur la fonction exponentielle

Cette page évoque quelques rudiments sur la fonction exponentielle, qui fait partie du bagage indispensable de tout professionnel utilisant des techniques quantitatives.

Cette fonction continue, convexe et strictement croissante et positive a l’honneur d’être la seule fonction qui non seulement est définie et dérivable sur l’ensemble des réels mais surtout qui est telle que f’ = f, avec f(0) = 1 (démonstration en page unicité de la fonction exp).

Le nombre réel exp (1) est nommé « e » ; il est approximativement égal à 2,71828183. On a le choix entre deux écritures : exp(x) ou ex.

e est la base du logarithme népérien puisque la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction ln (illustration graphique en page logarithmes). Conséquence, son emploi permet de supprimer d'inconvenants logarithmes. Exemple, si ln x = 2, alors x = e².

Les opérations algébriques permises par l'exponentielle sont enseignées en classe de terminale. Mais après tout, il ne s'agit que de classiques opérations sur les puissances. Tenez, par exemple : exp (x + y) = exp (x) × exp (y). Et, comme toute puissance nulle, e0 = 1.

La fonction

Les limites de la fonction se devinent sur la courbe représentée plus bas :

limites

Croissances comparées, pour n strictement positif (l’exponentielle l’emporte sur la puissance) :

croissances comparées

Pour les cas où n = 1, les démonstrations se trouvent en page limites de la fonction exp.

Très important : soit u l'expression d'une fonction ; la dérivée de exp(u) : (eu)' = u'eu. Si u est égal à x, u’ est donc égal à 1. Si bien que, comme il est indiqué plus haut, (ex)’ = ex. Voir les exercices de dérivation avec exponentielles.

La courbe représentative de la fonction est bien connue (réalisation sur Sine qua non) :

courbe

Enfin, le nombre e est la limite de la suite (un) définie par un = [1 + (1 / n)]n pour tout n appartenant à N et donc de la fonction f définie par f(x) = [1 + (1 / x)]x.

Dévelopement limité : voir la page développement de Mc Laurin (pas aux programmes du secondaire).

Exercice d’application

Nous connaissons maintenant les règles du jeu. Un exercice nous est fourni par cet extrait de l’épreuve du bac ES Asie, juin 1998 (à l'époque, les limites étaient au programme du bac ES).

Soit f la fonction de variable réelle x, définie sur R par :

f(x) = ex(ex + a) + b où a et b dont deux constantes réelles.

Les renseignements connus sur f sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous.

tableau de variations

1. Calculer f’(x) en fonction de a (f’ désigne la fonction dérivée de f).

2. a) Déterminer a et b en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci-dessus.

b) Calculer f(0) et calculer la limite de f en +∞.

3. Résoudre dans R l’équation ex(ex – 2) – 3 = 0 (on pourra poser X = ex).

Éléments de correction

Remarque préliminaire : vous avez remarqué que le tableau est incomplet. Un exercice, non repris ici, consistait à le compléter.

1. La fonction se présente sous forme d’un produit et d’une constante dont on n’a rien à faire. Donc, (uv)’ = u’v + v’u avec uu’ = ex, v = ex + a et v’ = ex et f’(x) = ex(exa) + exex. Factorisons. Nous obtenons f’(x) = ex(exa + ex), soit f'(x) = ex(2ex + a).

2. Après la dérivation, jouons à l’identification. Le tableau de signes nous indique que f'(0) = 0. Remplaçons. Nous avons e0(2e0 – a) = 0 et comme e0 = 1, on décèle bien vite la vérité : a n’est autre que -2. Quant à la constante b, elle se découvre grâce à la limite en moins l’infini. On sait que, dans ces contrées lointaines, ex flirte avec zéro. Il ne nous reste donc plus que la mystérieuse constante b qui se trouve être égale à la limite… D'où b = -3.

À présent, notre fonction n’a plus aucun secret : f(x) = ex(ex – 2) – 3. Le calcul de f(0) ne présente alors pas la moindre difficulté puisque 1(1 – 2) – 3 = -4. Quant à la limite en plus l’infini, elle est de plus l’infini. Ce n’est même pas une forme indéterminée.

3. En passant, l’énoncé nous fournit aimablement la solution de l’identification. Procédons au changement de variable Xex comme nous y sommes invités.

X(X – 2) – 3 = X² – 2X – 3 = 0. Banal polynôme du second degré. Si vous avez oublié la façon de le résoudre, rendez-vous en page racines d’un trinôme. Deux solutions existent : -1 et 3.

Au moment où nous devons revenir à ex, stupéfaction : l’exponentielle étant toujours positive, -1 est recalé. La seule solution acceptée vérifie donc l'équation ex = 3, c’est-à-dire que= ln 3. La courbe représentative de la fonction f traverse l’axe des abscisses au point (ln 3 ; 0) et pas ailleurs.

Exercices d'entraînement à la manipulation d'exponentielles : voir pages exercices avec logarithmes et exponentielles, extremums, dérivées successives et exercices sur les limites avec exponentielle. Extraits d'une épreuve du bac ES en page exercices sur la fonction exponentielle.

Les applications de la fonction exponentielle sont nombreuses et dans des domaines variés, y compris certaines applications statistiques (ne figure pas aux programmes du secondaire) :

Utilité en statistiques

Impossible de recenser tous les emplois de la fonction exponentielle. En voici quelques uns, appliqués aux techniques évoquées sur ce site...

La régression sur tendance exponentielle : assez rare lorsqu'elle modélise une croissance, il s’agit d’une régression « dangereuse » car on ignore quand un retournement surviendra. La modélisation d'une décroissance est plus fréquente. La régression sur tendance logistique est aussi employée.

Lois de probabilité : la plupart des lois de probabilité usuelles intègrent l’exponentielle dans leur formule de densité, au premier rang desquelles.... la loi exponentielle.

Régression logistique : les fonctions de transfert intègrent également les exponentielles dans leurs expressions.

 

exponentielle

 

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