Fonction exp et croissances comparées
Cette page évoque quelques rudiments sur la fonction exponentielle. Elle s'adresse aux élèves de terminale (maths de spécialité) quoique la fin de la page n'est pas au programme (si vous êtes en première générale, voir les pages de première approche de la fonction exponentielle et d'exercices avec exponentielle).
Ci-dessous, des notions sont d'abord rappelées. Il s'agit soit de révisions de première, soit de notions que vous verrez un peu plus tard dans l'année. Nous explorerons ensuite les limites à connaître.
Rappels
La fonction exponentielle est celle des puissances de \(e,\) base des logarithmes népériens. Ce nombre irrationnel est environ égal à 2,71828183. Approché par les travaux de Bürgi et de Napier, il a véritablement été découvert par Jacques Bernoulli puis baptisé \(e\) par Euler.
Cette fonction \(f\) continue, convexe et strictement croissante et positive a l’honneur d’être la seule fonction qui non seulement est définie et dérivable sur l’ensemble des réels mais surtout qui est égale à sa dérivée, avec \(f(0) = 1\) (démonstration en page d'unicité de la fonction \(\exp\)). On a le choix entre deux écritures : \(\exp(x)\) ou \(e^x.\)
Comme \(e\) est la base du logarithme népérien, la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction \(\ln\) (illustration graphique en page logarithmes). Conséquence, son emploi permet de supprimer d'inconvenants logarithmes. Exemple, si \(\ln x = 2,\) alors \(x = e^2.\)
Les opérations algébriques permises par l'exponentielle sont désormais enseignées en classe de première générale. Mais après tout, il ne s'agit que de classiques opérations sur les puissances. Tenez, par exemple : \(\exp(x + y) = \exp (x) × \exp (y).\) Et, comme toute puissance nulle, \(e^0 = 1.\)
La courbe représentative de la fonction est bien connue (réalisation avec Sine qua non) :
Très important : soit \(u(x)\) l'expression d'une fonction ; la dérivée de \(\exp(u(x))\) est \(u'(x)e^{u(x)}.\) Si \(u(x) = x\) alors \(u’(x) = 1\) si bien que, comme il est indiqué plus haut, la dérivée de \(e^x\) est \(e^x.\) Voir les exercices de dérivation avec exponentielles.
Enfin, le nombre \(e\) est la limite de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = (1 + \frac{1}{n})^n\) pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}^*\) et donc de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par \(f(x) =(1 + \frac{1}{x})^x.\)
Dévelopement limité : voir la page sur le développement de Mc Laurin (pas aux programmes du secondaire).
Limites et croissances comparées
Les limites de la fonction se devinent sur la courbe ci-dessus :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^x} = 0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} = + \infty \]
Croissances comparées, pour \(n\) strictement positif, l’exponentielle l’emporte sur la puissance :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{e^x}}}{{{x^n}}} = + \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^n}}}{{{e^x}}} = 0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}{e^x} = 0\]
Pour les cas où \(n = 1,\) les démonstrations se trouvent en page de limites de la fonction \(\exp\).
Exemple :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x^3}}{{e^x}} + x^2\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}( \frac{{x}}{{e^x}} + 1)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2}( 0 + 1)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = +\infty\)
Des exercices se trouvent en page de formes indéterminées avec fonction exponentielle. Voir aussi le problème avec exponentielle.
Utilité en statistiques
Note : ce qui suit est hors programme de terminale.
Impossible de recenser tous les emplois de la fonction exponentielle. En voici quelques uns, appliqués aux techniques évoquées sur ce site...
La régression sur tendance exponentielle : assez rare lorsqu'elle modélise une croissance, il s’agit d’une régression « dangereuse » car on ignore quand un retournement surviendra. La modélisation d'une décroissance est plus fréquente. La régression sur tendance logistique est aussi employée.
Lois de probabilité : la plupart des lois de probabilité usuelles intègrent l’exponentielle dans leur formule de densité, au premier rang desquelles.... la loi exponentielle.
Régression logistique : les fonctions de transfert intègrent également les exponentielles dans leurs expressions.
