Composées de fonctions et limites
Les limites de compositions de fonctions sont au programme de terminale générale. D’ailleurs une bonne partie des fonctions étudiées en classe sont composées (surtout avec des racines carrées ou des exponentielles, pour l’instant). Voyons cela.
Fonction composée
Certaines fonctions sont de simples additions, produits ou quotients de fonctions usuelles. Par exemple une fonction polynôme du second degré est la somme d’une fonction carré et d’une fonction affine. Pour d’autres il est plus difficile de faire apparaître des fonctions usuelles. Prenons l’exemple d’une fonction définie sur \(\mathbb{R}.\) Soit \(x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}.\)
Cette fonction fait intervenir deux fonctions de référence : la fonction carré et la fonction racine carrée. Mais il ne s’agit ni d’une addition ni d’un produit. C’est véritablement une fonction imbriquée dans une autre ! Ainsi, la composition est une opération qui n’est pas arithmétique comme celles que vous connaissez depuis votre plus tendre enfance mais une opération propre aux fonctions. Pas de panique, la composition n’est pas une opération compliquée : dans les années 70, c’est en classe de seconde que l'on étudiait ses propriétés (que vous étudierez peut-être l’an prochain ; eh oui, les programmes s’allègent !).
Ainsi, dans notre exemple, on peut considérer une fonction \(g\) définie par \(g(x) = x^2 + 1\) et la fonction racine carrée \(f\) qui s’enchaînent en \(f(g(x)).\) Cela ne s’écrit pas ainsi mais \(f \circ g\) (f rond g). Notez que cette écriture n’est pas au programme de l’option maths complémentaires.
On dit aussi « composée de \(g\) par \(f\) ».
Notez par ailleurs que la fonction \(f \circ g\) n’est pas souvent égale à \(g \circ f.\)
Exemple un peu plus élaboré
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\backslash\{0\,;1\}\) par \(f(x) = \frac{1}{(x^2-x)^3}\)
Déterminons les fonctions \(g,\) \(h\) et \(k\) telles que \(f = g \circ h \circ k.\)
On part de la plus petite expression dans laquelle se trouve \(x\) pour s’étendre ensuite à \(f.\) Donc, \(k(x) = x^2 - x.\) Ensuite, nous avons \(h(k(x)) = (x^2 - x)^3\) ; ainsi \(h(x) = x^3.\) Enfin, \(g(x) = \frac{1}{x}\) (même raisonnement).
Limite d'une fonction composée
Et c’est de ces composées de fonctions qu’il vous faudra chercher les limites !
Là encore, le formalisme qui suit n’est pas enseigné en maths complémentaires où seuls quelques exercices permettent de faire une connaissance très furtive avec le concept de composition.
Soit \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) à valeurs dans un intervalle \(J\) (c’est-à-dire que les valeurs prises par \(g\) ne se situent que dans l’intervalle \(J\), par exemple des valeurs positives pour la fonction carré). Soit \(f\) une fonction définie sur \(J.\)
Soit \(α ∈ J\) (en particulier aux bornes de son ensemble de définition) et soit \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = β.\) Si \(\mathop {\lim }\limits_{y \to \beta } f(y) = \delta\) alors :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha }( f \circ g)(x) = δ\)
Exemple
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R^*}\) par \(f(x) = e^{\frac{1}{x} + 1}\)
Déterminons sa limite à \(+ \infty.\)
Considérons deux fonctions \(u\) et \(v\) définies par \(u(x) = \frac{1}{x} + 1\) et \(v(x) = e^x.\) Ainsi, \(f(x) = (v \mapsto u)(x).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty }u(x) = 1\) (par addition)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 }v(x) = e\) puisque \(e^1 = e.\)
Donc, par composition, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}f(x) = e\)
Sans prétendre fournir une vérification sûre, la courbe permet souvent de conforter la justesse d’un résultat.
Exercices
Les exercices peuvent être réalisés tant en maths de spécialité qu’en maths complémentaires.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } \sqrt{x^2+1}\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \sqrt{x^2+1}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } e^{x^3}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } \sqrt{\frac{1}{x^3}}\)
Corrigés
1- Le premier exercice est facile.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } x^2+1 = +\infty\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \sqrt{x} = +\infty\)
Donc par composition :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } \sqrt{x^2+1} = +\infty\)
De même…
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } x^2+1 = +\infty\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \sqrt{x} = +\infty\)
Donc par composition :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \sqrt{x^2+1} = +\infty\)
2- Le deuxième exercice est de difficulté moyenne.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } x^3 = -\infty\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } e^{x} = 0\)
Donc par composition :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } e^{x^3} = 0\)
3- Le troisième exercice comporte un piège sournois…
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } \frac{1}{x^3} = 0^-\)
Il faut bien voir qu’en \(- ∞\) notre \(x^3\) est négatif donc \(\frac{1}{x^3}\) est négatif aussi (la limite est à gauche de 0.\)
Or la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. La réponse n’est donc pas \(\sqrt{0} = 0\). Elle est que notre fonction n’étant pas définie sur \(- ∞\) il ne peut y avoir de limite !
