Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La composition de limites

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Composées de fonctions et limites

Cette page a été rédigée prioritairement pour les élèves de terminale S.

Vous maniez avec un certain savoir-faire les opérations sur les limites de fonctions. Pour cela, vous identifiez deux fonctions f et g et vous les additionnez, multipliez ou divisez entre elles. Soit. Mais il existe un exercice un peu plus difficile où f et g sont « imbriquées » l’une dans l’autre. On parle alors de composition de fonctions. Et c’est de ces composées de fonctions qu’il vous faudra à présent chercher les limites ! Mais pas de panique, la composition n’est pas une opération compliquée : dans les années 70, c’est en classe de seconde qu’on en étudiait les propriétés (propriétés que vous étudierez peut-être l’an prochain ; eh oui, les programmes s’allègent !).

Fonction composée

Soit f une fonction définie sur un ensemble E à valeurs dans un ensemble F. C’est-à-dire que les valeurs prises par f se situent dans un intervalle F.

Soit g une fonction définie sur F.

La fonction g o f (se lit g rond f) est définie pour tout x appartenant à E par g(f(x)). On l’appelle composée de f suivie de g.

Ceci revient à remplacer la variable x dans l’expression de g par l’expression de f.

Si par exemple nous avons g(x) = et f(x) = x + 1 alors g o f(x) = g(f(x)) =(x + 1)².

Vous comprenez d’ailleurs pourquoi g est définie sur l’ensemble des valeurs prises par f.

Notez par ailleurs que la fonction f o g n’est pas forcément égale à g o f. Reprenons notre exemple : f(g(x)) =  + 1.

Théorème de composition des limites

Soit f et g deux fonctions et soit a, b et c trois réels ou –∞ ou +∞.

théorème de composition de limites

Prenons un exemple simple.

Soit f la fonction inverse (définie sur R*) et g la fonction carré (définie sur R). Nous avons donc :

g o f

Nous cherchons la limite en –∞ (c’est le a de la formule). Nous savons que (Cf. page limites à l’infini) :

limite en moins infini

Or :

limite nulle

Donc la limite de g o f à –∞ est 0. Notez qu’avec cet exemple, nous obtenons aussi une limite nulle lorsque c’est f o g qui tend vers –∞.

Selon votre degré d’entraînement, vous prendrez l’habitude de déterminer mentalement des limites de fonctions composées plus complexes mais il vous est demandé de détailler les étapes.

NB : une composée ne se limite pas forcément à deux fonctions. Voir l’exercice 2 ci-dessous.

Exercices

Exercice 1 : soit f la fonction valeur absolue, définie sur R, et g la fonction définie sur R par g(x) = -5x.

Donner l’expression de f o g(x) puis de g o f et calculer la limite des deux fonctions composées lorsque x tend vers +∞.

Exercice 2 : soit la fonction f définie sur R\{0 ; 1} par :

f(x)

Déterminer les fonctions g, h et k telles que f = g o h o k puis déterminer la limite de f à droite de 0.

Corrigé commenté 1 : f o g(x) = f(-5x) = |-5x| et g o f = -5|x|.

Le calcul de limites peut s’effectuer soit directement à partir des fonctions obtenues soit en deux temps. Commençons par la limite de f o g.

limite f o g

Si l’expression de f o g n’avait pas été demandée :

1-

2-

Nous retrouvons bien le même résultat. Passons à g o f. Première technique, nous avons déjà déterminé la fonction composée :

technique 1

Ou bien :

technique 2.1

technique 2.2

La limite de g o f(x) lorsque x tend vers plus l’infini est moins l’infini.

Corrigé commenté 2 : on part de la plus petite expression dans laquelle se trouve x pour s’étendre ensuite à f. Donc, k(x) = x² – x. Ensuite, nous avons h(k(x)) = (x² – x)³ ; c’est donc que h(x) = . Enfin, g(x) = 1 / x (même raisonnement).

Établissons la limite de k en 0+. On pourrait écrire...

limite de k

Toutefois, cette réponse n’est pas assez précise. Selon que la limite est 0+ ou 0-, nous trouverons un résultat différent pour f. Factorisons.

factorisation

En effet, le produit de 0+, nombre positif, par -1, nombre négatif, est négatif. Poursuivons. Cette fois-ci, le résultat est immédiat.

limite de x cube

Enfin, nous connaissons par cœur le résultat suivant (voir la page limite infinie en un point) :

lim fct inverse

Par conséquent, la limite de f à droite de 0 est –∞. Éventuellement, un tracé sur calculatrice permet de s’assurer que la courbe montre une concordance avec nos calculs.

 

compositions

 

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