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(et fondements mathématiques)

Exemples de limites avec exponentielles

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Exercices sur les limites avec exponentielles

Juste pour s’entraîner, voici quelques exercices sur les limites de fonctions accompagnés d'éléments de correction…

Exercice 1

Cet exercice est issu d'une épreuve du bac STT en 2005 (Polynésie).

Soit la fonction suivante :

fonction (exemple)

a. Déterminer la limite de f en –∞.

b. En utilisant le résultat…

piste

…établir la limite de f en +∞, puis interpréter graphiquement le résultat.

Corrigé

a.

moins l'infini

b. Nous sommes en présence d’une forme indéterminée, multiplication entre 0 et l’infini. Il faut modifier l’expression de la fonction. On développe f(x) puis on la réduit ainsi :

réduction

En moins l’infini, la limite de la fonction exponentielle est nulle. Par ailleurs, on cherche la limite de l’inverse de l’expression indiquée dans l’énoncé. Cette limite est donc forcément l’inverse de +∞, donc 0. On en déduit que la limite lorsque notre fonction tend vers plus l’infini est égale à (4 × 0) – 0 = 0.

L’interprétation graphique est que l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f à +∞.

NB : l’étude de cette fonction se poursuit en page extremums.

Exercice 2

exercice 2

Corrigé

Il s’agit d’une simple application du théorème des croissances comparées. À l’infini, l’exponentielle est « infiniment plus élevée » que le logarithme. Il est clair que la limite est +∞.

Exercice 3

Cherchons la limite suivante :

exercice 3

Nous sommes en présence d’une forme assez rare d’indétermination qui est 1 à la puissance infinie. Cette forme n’est d’ailleurs pas au programme dans le secondaire.

Corrigé

L’astuce consiste à « descendre » la puissance avec la bonne vieille propriété du logarithme. Dans le cadre de la question qui nous occupe, x est strictement positif. On pose donc l’équation :

1ère étape

Du coup, il faut trouver la limite suivante :

2ème étape

Mais la forme est toujours indéterminée. Il s’agit cette fois d’un produit entre l’infini et ln 1, c’est-à-dire 0. Il faut alors penser à la formule remarquable suivante :

limite remarquable

Forcément, la limite de l’INVERSE de x lorsque x tend vers l’INFINI est aussi égale à 1. Même si la formulation suivante est un peu moins souvent présentée, elle est directement liée à la précédente…

inverse

Alea jacta est. Il est dès lors évident que cette limite tant cherchée n’est autre que… e.

Exercice 4

exercice 4

Corrigé

Il s’agit d’une forme indéterminée « 0 divisé par 0 ». La résolution passe par un développement limité de Mc Laurin. Voyons si l’ordre 1 suffit.

Quelle est l’approximation affine de e4x au voisinage de 0 ? La dérivée de cette expression est 4e4x. La simple application de la formule de la tangente en 0, soit f(0) + xf’(0), nous donne y = 4x + 1. De même, une fonction équivalente à ex en 0 est y = x + 1.

fonction équivalente

L’ordre 1 suffit bel et bien. La limite est égale à 3.

NB : la fonction n’est pas définie en 0 mais elle admet la même limite à gauche et à droite. Un prolongement par continuité est donc possible.

Exercice 5

Quelle est la limite en 0 de la fonction définie sur R+* f(x) = xx ?

Corrigé

Il s’agit d’une forme indéterminée de type 00.

Cette fonction peut s’écrire exlnx (voir exercice en page exponentielle de base a).

Dès lors, il s’agit de trouver la limite en 0 de ln (x). On sait qu'elle n'est autre que 0.

Comme e0 = 1, la limite de f(x) en 0 est 1.

 

tombola

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés