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(et fondements mathématiques)

Une approche de la fonction exponentielle

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Fonction exponentielle de base e en terminale ES

Cette page est rédigée à l’attention des élèves de terminale ES qui commencent l’étude de l’exponentielle. Depuis 2012, ce chapitre est en principe présenté AVANT les logarithmes et les intégrales. Voici donc une introduction très superficielle...

La fonction exponentielle est une fonction exponentielle de base a particulière. Ses propriétés sont celles des calculs de puissance. Elle est notée « exp ».

Elle est définie sur R par f(x) = ex, e étant environ égal au réel 2,7182818. Ainsi, exp(1) = e.

La fonction exp est strictement positive et croissante sur R. Elle est partout dérivable.

Soit f la fonction définie par f(x) = eu(x). Sa dérivée f’ est définie par f’(x) = u’(x)eu(x). Par conséquent, exp’(x) = ex. Applications en page d'exercices de dérivation avec exponentielles.

Définition : la fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée, et par laquelle l'image de 0 est 1 (démonstration en page unicité de la fonction exp).

Exemple de transformation d’écriture

simplification

Exemple de détermination du sens de variation

Soit la fonction f définie sur R \ {0} par :

exemple

Dérivons d’abord f (bien qu’il soit tout à fait possible de déterminer son sens de variation sans passer par cette étape). Voir la formule de la dérivé d’un quotient de fonctions u / v avec u = ex, u’ = ex, x et v’ = 1.

u sur v

Pour tout x, ex > 0 et  ≥ 0. Donc, le signe de f’ est le signe de (x – 1). Il s’ensuit que les variations de f sont les suivantes (Cf. lien entre fonction et dérivée) :

tableau

Autre exemple de détermination du sens de variation (sans utiliser la dérivée), tiré de l’épreuve du bac ES, Amérique du Nord, juin 2007.

Soit l’intervalle J = ]0,5 ; +∞[ et f une fonction définie sur J par :

f(x)

Déterminons le signe de chacun des deux facteurs.

Quel est le signe du trinôme ( – x + 1) ? Calculons le discriminant.

Δ = (-1)² – 4 × 1 × 1 = -3

Comme Δ < 0, le signe du trinôme est celui de a = 1, c’est-à-dire positif.

Par ailleurs, la fonction exp est strictement positive.

Un produit de facteurs positifs étant positif, il est clair que f est strictement positive.

Exercice (extrait de l’épreuve du bac ES, Liban, mai 2013)

On considère la fonction C définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

C(x)

1. On désigne par C’ la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout x ∈ [5 ; 60],

C'(x)

2. On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par :

f(x)

a- Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b- Montrer que l’équation f(x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60].

c- Donner un encadrement à l’unité de α.

d- En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60].

3. En déduire le tableau de variation de C sur [5 ; 60].

4. En utilisant le tableau de variation précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : C(x) = 2 et C(x) =5.

Éléments de correction

1. Calcul de la dérivée :

C'(x)

2. a- La détermination de f’ fait intervenir la dérivée d’un produit de fonctions.

f’(x) = 0,1e0,1x + 0,1x × 0,1e0,1x – 0,1e0,1x = 0,01xe0,1x.

Donc f’(x) > 0 et f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b- La fonction f est continue et strictement croissante sur [5 ; 60]. Par ailleurs, f(5) = -20,8 environ et f(60) = 1997,1. Or, f(5) < 0 < f(60). Selon le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [5 ; 60].

c- Selon la calculatrice, f(25) = -1,7 et f(26) = 1,5. Donc 25 < α < 26.

d- D’après la question précédente :

tableau de signes

3. Nous remarquons que C’(x) = f(x) / x², par conséquent le signe de C’(x) est le signe de f(x).

C(x)

4. D’après la calculatrice, C(5) = 4,3, C(60) = 7,1 et C(α) = 1,3. Donc l’équation C(x) = 2 admet deux solutions (l'une dans [5 ; α] et l'autre dans [α ; 60]) tandis que C(x) = 5 n’en admet qu’une seule (plus précisément dans [α ; 60]).

NB : si vous avez étudié la convexité, voir la page exponentielle et convexité pour vous entraîner sur deux autres exercices. Si vous avez vu les primitives, voir la page primitives des fonctions usuelles et surtout les exercices sur primitives de fonctions exponentielles.

 

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