Limites de fonctions usuelles et exercices
L’étude des limites de fonctions fait partie des programmes de terminale générale (maths complémentaires et maths de spécialité). Même le plus simple des exercices réclame de connaître les limites des fonctions usuelles. Celles-ci ne posent aucune difficulté, surtout si l’on a en tête leurs courbes représentatives. Toutefois, nous les présentons tout de même ci-dessous avant de vous proposer quelques exercices simples.
Fonctions usuelles
La fonction carré
La fonction carré est définie pour l’ensemble des réels. Par conséquent, seules les limites à l’infini nous intéressent ici. Vous avez à l’esprit la parabole représentative de la fonction carré ? Alors vous savez déjà que :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2} = + \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty \)
Ces limites sont valables pour toutes les fonctions de puissance paire.
La fonction cube
Pour la fonction cube aussi, les limites doivent vous sembler évidentes.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \)
Ces limites sont valables pour n’importe quelle puissance impaire.
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est définie sur \([0\, ; +∞[.\) Vous savez que \(\sqrt{0} = 0\) donc seule la limite en \(+ ∞\) peut poser problème (enfin pas trop).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt x = + \infty \)
La fonction inverse
La fonction inverse est définie sur \(\mathbb{R}^*.\) Par conséquent, on s’intéresse à quatre limites.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = {0^ - }\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = {0^ + }\)
Là encore, il est assez simple de déduire ces limites. L’inverse d’un nombre très grand est très petit : un millionième de quelque chose représente une quantité insignifiante.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \)
Représentation graphique, pour mieux vous souvenir…
Remarquez l'existence de deux asymptotes (horizontale et verticale).
La fonction exponentielle
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^x} = {0^ + }\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} = + \infty \)
Ici, une seule asymptote (horizontale), pour la limite en \(-∞.\)
La fonction logarithme népérien
Vous n’avez peut-être pas encore abordé la fonction logarithme lorsqu’on vous enseigne les limites. Qu’à cela ne tienne, voici tout de même les siennes :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln x = - \infty \) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \ln x = + \infty \)
Exercices
Trouver les limites suivantes :
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^5} + 3\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} + {x^2}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^x} + \frac{1}{x}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^x} \times \frac{1}{x}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2{x^2} + 3x\)
Des exercices complémentaires se trouvent en page d’opérations sur les limites de fonctions.
Éléments de correction
1- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^5} + 3 = -∞\)
En effet, nous avons affaire à une puissance impaire. Le fait d’ajouter 3 à \(- ∞\) ne change rien.
2- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} + {x^2} = +∞.\)
Nous sommes en présence d’une somme de deux limites infinies.
3- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^x} + \frac{1}{x} = +∞.\)
Nous savons que \(e^0 = 1\) et que la limite de la fonction inverse à droite de 0 est \(+ ∞.\) Donc, par somme, la limite est \(+ ∞.\)
4- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {e^x} \times \frac{1}{x} = 0\)
Comme nous l’avons vu précédemment, la limite de la fonction inverse à droite de 0 est \(+ ∞.\) Une multiplication par 1 ne change évidemment rien. Donc, par produit, la limite est \(+∞.\) Si pour l'instant vous maîtrisez mal les limites, vous pouvez toujours vous aider de la courbe représentative...
5- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2{x^2} + 3x = +∞.\)
Ici, la limite en \(-∞\) de \(2x^2\) est \(+∞\) et celle de \(3x\) est \(-∞.\) La somme des deux termes est indéterminée. Même si vous n’avez pas encore appris à lever les indéterminations, vous pouvez deviner cette limite puisque la fonction est une fonction du second degré dont le coefficient de \(x^2\) (que l’on nomme habituellement \(a\)) est positif. Donc les deux limites à l’infini sont \(+ ∞.\) Graphiquement, la courbe représentative est une parabole qui admet un minimum (et de part et d’autre de celui-ci, la courbe « s’envole » à \(+ ∞\)).
