Souvenez-vous, c’était en 1614. Oui, je sais bien que vous n’étiez pas né ! C’est à vos souvenirs de cours d’histoire que je pense ! Cette année-là, donc, Marie de Médicis convoquait les États-Généraux, Pocahontas se mariait et Le Greco s’éteignait à Tolède. Mais surtout, l’Écossais John Napier publiait la première table des logarithmes sans se douter de la portée phénoménale qu'elle aura par la suite.

Bon, après ce petit préambule de culture générale, je vous propose une page pense-bête sur les propriétés algébriques des logarithmes.

Si x est un nombre réel strictement positif, il existe un nombre y tel que exp (y) = x. Ce réel est appelé « logarithme népérien » de x. Il est noté ln x (au siècle dernier, on le notait plutôt Log x).

Fonction logarithme

Cette fonction est strictement croissante, continue sur son ensemble de définition, sa dérivée est égale à 1 / x (et donc 1 / x admet pour primitive ln |x| + c), sa limite en 0⁺ plonge dans les ténébreuses profondeurs de moins l’infini, sa limite en plus l’infini se perd dans l'immensité cosmique de plus l’infini, ln 1 = 0 et ln e = 1 (e étant environ égal à 2,718).

Illustration : ci-dessous figurent les courbes représentatives de la fonction logarithme népérien (en rouge) et de sa réciproque, la fonction exponentielle (en bleu). La première se situe partout sous sa tangente, la seconde partout au-dessus. Réalisation sur Sine qua non.

On remarque que ∀ x > -1, ln (x + 1) ≤ x.

Propriétés algébriques

La principale propriété est gravée dans le marbre :

On en déduit d’autres propriétés tout aussi « magiques » (voir page initiation aux logarithmes) :

Ces propriétés sont directement opérationnelles. Si un capital est placé à un taux fixe de 2 % (et que les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts), au bout de combien d’années aura-t-il doublé ? On pose (1,02)ⁿ > 2, donc n ln 1,02 > ln 2 et n > 35 ans. Voir un autre exemple d'utilisation en page moyenne géométrique.

Croissances comparées

On les mémorise en pensant que le x « l’emporte » sur ln x.

Pour tout n entier naturel non nul :

Opérations sur fonctions

Si u est une fonction positive et dérivable, la dérivée (ln u)’ est égale à u’ / u et une primitive de u’ / u est ln |u|.

Échelle logarithmique

Il est parfois pratique d’utiliser un quadrillage spécial pour transformer les graphiques. L’écartement entre les valeurs des ordonnées ne suit pas une règle arithmétique mais correspond aux logarithmes népériens ou décimaux de y. On parle de papier SEMI-logarithmique puisqu’un seul axe bénéficie de cette transformation. Ainsi, un ajustement exponentiel apparaît sous forme de fonction affine (voir régression sur tendance exponentielle). Par ailleurs, il est plus aisé de comparer graphiquement des variations puisqu’un écartement de x % sur l’axe des ordonnées reste le même quel que soit le niveau de y : sur une échelle arithmétique, la distance entre 40 et 80 est deux fois plus grande qu’entre 20 et 40 alors que sur une échelle logarithmique elles sont égales (+100 % dans les deux cas).

Ci-dessous figurent les cours de l’action Renault en 2008 (source Boursorama). Sur un repère normal, l’évolution est la suivante :

L’échelle permet mal de juger les variations, même fortes, à droite du graphique. En revanche, la volatilité du titre apparaît beaucoup mieux ci-dessous où l’échelle des ordonnées est logarithmique.

Parfois, c'est l'axe des abscisses qu'on a intérêt à présenter sur une échelle logarithmique (voir matrice du BCG).

Exercices : voir page exercices avec exponentielles et logarithmes.

Régression : voir page régression sur tendance logarithmique.