La fonction logarithme népérien

Introduction à la fonction logarithme

Souvenez-vous, c’était en 1614. Oui, évidemment vous n’étiez pas né ! C’est à vos souvenirs de cours d’histoire que nous pensons. Cette année-là, donc, Marie de Médicis convoquait les États-Généraux, Pocahontas convolait en justes noces et Le Greco s’éteignait à Tolède. Mais surtout, l’Écossais John Napier publiait la première table des logarithmes sans se douter de la portée phénoménale qu'elle allait avoir par la suite.

17ème siècle

Bon, après ce petit préambule de culture générale, voici une page introductive sur la fonction logarithme népérien (le nom de Napier ayant été déformé en Neper).

 

Définition et propriétés

Si \(x\) est un nombre réel strictement positif, il existe un nombre \(y\) tel que \(\exp y\) \(=\) \(x.\) Ce réel \(y\) est appelé « logarithme népérien » de \(x.\) Il est noté \(\ln x\) (au siècle dernier, on le notait plutôt \(Log (x)\)).

Il s'ensuit que pour tout réel \(y\) et tout réel \(x > 0,\) nous avons \(e^y = x\) \(⇔\) \(y = \ln x.\)

Autrement dit, tout réel strictement positif admet un unique antécédent par la fonction exponentielle et celui-ci est nommé logarithme de ce réel.

Quelques propriétés en découlent. Ainsi, \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1\) (\(e\) étant environ égal à 2,718).

Pour tout réel \(x,\) nous avons \(\ln e^x = x.\) Nous avons également \(e^{\ln x} = x\) mais il faut alors que \(x\) soit strictement positif.

 

Relations fonctionnelles

La principale propriété est gravée dans le marbre : \(\ln a + \ln b = \ln ab\)

On en déduit d’autres propriétés tout aussi « magiques » (thème développé en page d'initiation aux logarithmes) :

  • \(\ln a^n = n \ln a\)
  • \(\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a\)
  • \(\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b\)
  • \(\ln \frac{1}{a} = - \ln a\)

Ces propriétés sont directement opérationnelles. Si un capital est placé à un taux fixe de \(2\%\) (et que les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts), au bout de combien d’années aura-t-il doublé ? On pose \(1,02^n \geqslant 2,\) donc \(n \ln 1,02 \geqslant \ln 2\) et avec une calculatrice on trouve \(n > 35\) ans. Voir un autre exemple d'utilisation en page de moyenne géométrique.

 

Fonction logarithme

Cette fonction est strictement croissante, continue et concave sur son ensemble de définition qui est l'ensemble des réels strictement positifs, sa dérivée est la fonction inverse.

Le tableau de variation est le suivant :

tableau de variation

La tableau de signes :

tableau de signes

Illustration graphique : ci-dessous figurent les courbes représentatives de la fonction logarithme népérien (en rouge) et de sa réciproque, la fonction exponentielle (en bleu). La première se situe partout sous sa tangente, la seconde partout au-dessus. Réalisation avec Sine qua non.

logarithme et exponentielle

Dans la mesure où cette fonction est strictement croissante, nous avons les équivalences suivantes :

  • \(\ln a = \ln b ⇔ a = b\)
  • \(\ln a < \ln b ⇔ a < b\) ainsi que \(\ln a > \ln b ⇔ a > b\)

Dérivation

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*_+\) par \(f(x) = \ln x.\) Sa dérivée est \(f'(x) = \frac{1}{x}.\) Démonstration en page de dérivée de la fonction logarithme.

Si \(u(x)\) est une fonction positive et dérivable, la dérivée de \(\ln u(x)\) est égale à \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) (nommée dérivée logarithmique) et bien sûr une primitive de \(\frac{u'(x)}{u(x)}\)est \(\ln |u(x)|.\)

Primitive

L'expression des primitives de la fonction logarithme n'est pas au programme du secondaire mais elle peut apparaître au détour d'un exercice. Elle est la suivante (\(c\) étant un réel quelconque).

\(F(x) = x \ln x - x + c\)

Limites

Les limites de la fonction logarithme sont, en zéro, moins l'infini et à l'infini, plus l'infini. Attention, les limites des fonctions composées avec logarithmes sont parfois délicates à déterminer (voir la page sur les logarithmes et croissances comparées).

Développements limités (études supérieures)

Le développement de Mc Laurin de \(\ln x\) est moins « usuel » que celui de \(\ln (x + 1).\)

\(\ln(x + 1)\) \(=\) \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... + (-1)^{n-1}(\frac{x^n}{n}) + o(x^n)\)

Vous l'aviez sans doute deviné, pour obtenir le développement de \(\ln x,\) il suffit de remplacer chaque \(x\) de cette égalité par \(x - 1.\)

 

Échelle logarithmique

Il est parfois pratique d’utiliser un quadrillage spécial pour transformer les graphiques. L’écartement entre les valeurs des ordonnées ne suit pas l'échelle numérique habituelle mais correspond aux logarithmes népériens ou, plus souvent, décimaux de \(y.\) Le but est d'observer plus facilement les variations.

Voir à cet égard comment la page sur l'échelle logarithmique peut vous faire gagner de l'argent !

 

Pour s'exercer...

Exercices : voir les pages d'exercices avec exponentielles et logarithmes et d'exercice sur fonction logarithme (extrait d'une épreuve de bac ES).

Régression : voir la page qui traite de la régression sur tendance logarithmique.

 

Pour aller en arrière

Avant l'invention des ordinateurs et des calculatrices, les logarithmes figuraient sur des tables. Des abaques (règles à calcul plus complètes que de simples tables) pouvaient être des outils magnifiques. Le lien ci-dessous vous renvoie à l'exemplaire détenu par le musée archéologique de Madrid : http://ceres.mcu.es/...

 

logarithme humain