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(et fondements mathématiques)

La fonction logarithme népérien

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Introduction à la fonction logarithme

Souvenez-vous, c’était en 1614. Oui, je sais bien que vous n’étiez pas né ! C’est à vos souvenirs de cours d’histoire que je pense ! Cette année-là, donc, Marie de Médicis convoquait les États-Généraux, Pocahontas convolait en justes noces et Le Greco s’éteignait à Tolède. Mais surtout, l’Écossais John Napier publiait la première table des logarithmes sans se douter de la portée phénoménale qu'elle allait avoir par la suite.

Bon, après ce petit préambule de culture générale, voici une page introductive sur la fonction logarithme népérien (le nom de Napier ayant été déformé en Neper).

Définition et propriétés

Si x est un nombre réel strictement positif, il existe un nombre y tel que exp (y) = x. Ce réel est appelé « logarithme népérien » de x. Il est noté ln x (au siècle dernier, on le notait plutôt Log x).

Il s'ensuit que pour tout réel y et tout réel x > 0, ey = x ⇔ y = ln x.

Autrement dit, tout réel strictement positif admet un unique antécédent par la fonction exponentielle et celui-ci est nommé logarithme de ce réel.

Quelques propriétés en découlent. Ainsi, ln 1 = 0 et ln = 1 (e étant environ égal à 2,718).

Pour tout réel x, nous avons ln ex = x. Nous avons également eln x = x mais il faut alors que x soit strictement positif.

Fonction logarithme

Cette fonction est strictement croissante, continue et concave sur son ensemble de définition qui est l'ensemble des réels strictement positifs, sa dérivée est la fonction inverse (et donc 1 / x admet pour primitives ln |x| + c).

Le tableau de variation est le suivant :

tableau de variation

La tableau de signes :

tableau de signes

Illustration graphique : ci-dessous figurent les courbes représentatives de la fonction logarithme népérien (en rouge) et de sa réciproque, la fonction exponentielle (en bleu). La première se situe partout sous sa tangente, la seconde partout au-dessus. Réalisation sur Sine qua non.

logarithme et exponentielle

Dans la mesure où cette fonction est strictement croissante, nous avons les équivalences suivantes :

ln a = ln b ⇔ a = b

ln a < ln b ⇔ a < b ainsi que ln a > ln b ⇔ a > b

Relations fonctionnelles

La principale propriété est gravée dans le marbre :

ln a + ln b = ln ab

On en déduit d’autres propriétés tout aussi « magiques » (thème développé en page initiation aux logarithmes) :

propriétés des ln

Ces propriétés sont directement opérationnelles. Si un capital est placé à un taux fixe de 2 % (et que les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts), au bout de combien d’années aura-t-il doublé ? On pose (1,02)n > 2, donc ln 1,02 > ln 2 et n > 35 ans. Voir un autre exemple d'utilisation en page moyenne géométrique.

Dérivation de fonctions composées

Si u est une fonction positive et dérivable, la dérivée (ln u)’ est égale à u’ / u (nommée dérivée logarithmique) et bien sûr une primitive de u’ / u est ln |u|.

Primitive

L'expression des primitives de la fonction logarithme n'est pas au programme du secondaire mais elle peut apparaître au détour d'un exercice. Elle est la suivante (c étant un réel quelconque).

F(x) = x ln x – x + c

Limites et croissances comparées (terminale S)

Les limites de la fonction logarithme sont, en zéro, moins l'infini et à l'infini, plus l'infini. Attention, les limites des fonctions composées avec logarithmes sont parfois délicates à déterminer (voir la page logarithmes et croissances comparées).

Développements limités (études supérieures)

Le développement de Mc Laurin de ln x est moins « usuel » que celui de ln (x + 1).

DL (0)

Vous l'aviez sans doute deviné, pour obtenir le développement de ln x, il suffit de remplacer chaque x de cette égalité par (x – 1).

Échelle logarithmique

Il est parfois pratique d’utiliser un quadrillage spécial pour transformer les graphiques. L’écartement entre les valeurs des ordonnées ne suit pas l'échelle numérique habituelle mais correspond aux logarithmes népériens ou, plus souvent, décimaux de y. Le but est d'observer plus facilement les variations.

Voir à cet égard comment la page échelle logarithmique peut vous faire gagner de l'argent !

Pour aller plus loin...

Exercices : voir page exercices avec exponentielles et logarithmes et exercice sur fonction logarithme (extrait d'épreuve du bac ES).

Régression : voir page régression sur tendance logarithmique.

 

logarithme humain

 

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