Étude d'une fonction numérique
Cette page constitue un résumé des différentes étapes de l’étude d’une fonction jusqu’à sa représentation graphique. Il s’agit bien sûr d’une étude manuelle telle qu’elle est enseignée au lycée ou après le bac. Bref, la procédure classique. Évidemment, tracer une courbe grâce à un logiciel ou à une calculatrice graphique est plus rapide mais pas toujours plus sûr… Et les étapes « classiques » peuvent s’inscrire dans une étude plus large (résolution d’intégrales, par exemple).
Plan d'étude
Premièrement, il s’agit de délimiter l'ensemble de définition, notamment en vérifiant s'il n'existe pas des impossibilités mathématiques. Dans l’ensemble des réels, un dénominateur ne doit pas être nul, une racine carrée est positive ou nulle, un logarithme est strictement positif, etc. La modélisation d'une problématique concrète restreint l'ensemble de définition à un intervalle fini.
Deuxièmement, on vérifie si, éventuellement, on peut se contenter d’un ensemble d’étude plus petit qu’un ensemble de définition. Auquel cas il est inutile d’étudier toute la fonction. Ainsi on vérifie d'abord une éventuelle parité et / ou périodicité.
Troisièmement, on détermine les limites aux bornes de l’ensemble de définition. Cette étape permet de détecter d'éventuelles asymptotes verticales et horizontales, voire d’opérer un prolongement par continuité. Lorsqu’une limite à l’infini est infinie, on cherche le type de branche parabolique ou l’équation de l’éventuelle asymptote oblique.
Quatrièmement, on détermine la dérivée (sur le domaine de dérivation).
Cinquièmement, on étudie les variations de la fonction. On commence par déterminer le signe de la dérivée sur différents intervalles. Pour cela, il peut être nécessaire de modifier son expression afin de la présenter sous une forme factorisée. Au tableau de signes succède le tableau de variation de la fonction, synthèse de toutes les étapes précédentes qui comprend l'établissement de tous les lieux particuliers de la fonction.
Éventuellement, on peut être amené à étudier la convexité de la fonction, donc le signe de sa dérivée seconde.
Enfin, on trace la courbe représentative de la fonction.
C’est OK ? Alors on reprend tout ça avec un exemple.
Exemple
Étude de la fonction \(f\) définie comme suit : \(f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 - x - 3}{e^x}\)
Premièrement, l’ensemble de définition est l’ensemble des réels puisque le dénominateur ne peut être nul, une exponentielle étant toujours strictement positive.
\(f\) a pour ensemble de définition \(D_f = \mathbb{R}\) (tous les réels).
Deuxièmement, on vérifie une éventuelle parité.
\(f(-x) = \frac{-x^3 - 5x^2 + x - 3}{e^{-x}}\) et \(-f(x) = - \frac{x^3 - 5x^2 - x - 3}{e^x}\)
La fonction n’est ni paire, ni impaire, ni périodique (un polynôme divisé par une exponentielle n’ayant aucune raison de l’être).
Troisièmement, étudions les limites aux bornes, en l’occurrence à l’infini. En moins l’infini, on a donc moins l’infini divisé par \(0^+.\) Autant dire que la pente de la courbe est raide !
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \)
En plus l’infini, la forme est indéterminée (l’infini divisé par l’infini). En vertu du théorème des croissances comparées, l’exponentielle bat la puissance à plate couture (Note : dans un contrôle ou un partiel, les explications à fournir ne doivent pas reproduire les explications données ici).
Ainsi, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {0^ + }\)
Quatrièmement, la dérivée. Un grand moment de bonheur. Elle s'écrit sous la forme \(\frac{u(x)}{v(x)}\), soit une dérivée d'aspect \(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) avec :
\(u(x) = x^3 - 5x^2 - x - 3\)
\(u'(x) = 3x^2 - 10x - 1\)
\(v(x) = e^x\)
\(v’(x) = e^x\)
Il faut factoriser le polynôme pour déterminer les extrémums et le signe de cette dérivée (le dénominateur, toujours positif, n’intervient pas dans l’étude du signe).
Par le plus heureux des hasards, on remarque que 1 est racine évidente. On va donc diviser le numérateur par \(x - 1.\)
Donc, \(f’(x)\) \(= (x - 1)(-x^2 + 7x - 2).\) Reste à trouver les racines du trinôme à l’aide du discriminant \(\Delta.\) Passons sur le détail des calculs. Nous obtenons \(\Delta = 41.\)
\(x_1 = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}\) et \(x_2 = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}\)
On établit alors les tableaux de signes (de la dérivée) et de variations (de la fonction).
Et en guise de bouquet final, la courbe…
Voir une autre étude succincte en page de fonctions polynomiales.
