Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le plan d'étude d'une fonction

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Étude d'une fonction numérique

Cette page constitue un résumé des différentes étapes de l’étude d’une fonction jusqu’à sa représentation graphique. Il s’agit bien sûr d’une étude manuelle telle qu’elle est enseignée au lycée ou après le bac. Bref, la procédure classique. Évidemment, tracer une courbe grâce à un logiciel ou à une calculatrice graphique est plus rapide mais pas toujours plus sûr… Et les étapes « classiques » peuvent s’inscrire dans une étude plus large (résolution d’intégrales, par exemple).

Premièrement, il s’agit de délimiter l'ensemble de définition. Dans l’ensemble des réels, un dénominateur ne doit pas être nul, une racine carrée est positive ou nulle, un logarithme est strictement positif, etc.

Deuxièmement, on regarde si, éventuellement, on pourrait se contenter d’un ensemble d’étude plus petit qu’un ensemble de définition. Auquel cas il est inutile d’étudier toute la fonction. C’est pour celà que l’on vérifie d'abord une éventuelle parité et / ou périodicité.

Troisièmement, les limites aux bornes de l’ensemble de définition. Cette étape permet de détecter les éventuelles asymptotes verticales et horizontales, voire d’opérer un prolongement par continuité. Lorsqu’une limite à l’infini est infinie, on cherche le type de branche parabolique ou l’équation de l’éventuelle asymptote oblique.

Quatrièmement, on détermine la dérivée (sur le domaine de dérivation).

Cinquièmement, on étudie le signe de cette dérivée. Pour cela, il peut être nécessaire de la travailler à nouveau pour la présenter sous forme factorisée. Au tableau de signes succède le tableau de variation de la fonction, synthèse de toutes les étapes précédentes qui comprend l'établissement de tous les points particuliers de la fonction. Éventuellement, on peut être amené à étudier la convexité de la fonction, donc le signe de sa dérivée seconde.

Sixièmement, on trace la courbe représentative de la fonction.

C’est OK ? Alors on reprend tout ça avec un exemple.

Étude de la fonction suivante :

exemple de fonction

Premièrement, l’ensemble de définition est l’ensemble des réels puisque le dénominateur ne peut être nul, une exponentielle étant toujours strictement positive.

f a pour ensemble de définition Df = R.

Deuxièmement, on vérifie s’il existe une parité.

parité ?

La fonction n’est ni paire, ni impaire, ni périodique (un polynôme divisé par une exponentielle n’ayant aucune raison de l’être).

Troisièmement, les limites aux bornes, en l’occurrence à l’infini. En moins l’infini, on a donc moins l’infini divisé par 0+. Autant dire que la pente est raide.

moins infini

En plus l’infini, la forme est indéterminée (l’infini divisé par l’infini). En vertu du théorème des croissances comparées, l’exponentielle bat la puissance à plate couture (NB : dans un contrôle ou un partiel, les explications à fournir ne doivent pas reproduire les explications données ici). Du coup :

plus infini

Quatrièmement, la dérivée. Un grand moment de bonheur. Elle s'écrit sous la forme u / v, soit une dérivée d'aspect (u’v – v’u) / v² avec u = x³ – 5x² –  x –  3, u’ = 3x² – 10x – 1, v = ex, v’ = ex.

détail du calcul de la dérivée

Il faut factoriser le polynôme pour déterminer les extrémums et le signe de cette dérivée (le dénominateur, toujours positif, n’intervient donc pas dans l’étude du signe).

Par le plus heureux des hasards, on remarque que 1 est racine évidente. On va donc diviser le numérateur par (x – 1).

division du polynôme

Donc, f’(x) = (x – 1)(-x² + 7x – 2). Reste à trouver les racines du trinôme à l’aide du discriminant. Passons sur le détail des calculs.

racines

On établit alors les tableaux de signes (de la dérivée) et de variations (de la fonction).

signes et variations

Et en guise de bouquet final, la courbe…

courbe

Voir une autre étude succincte en page fonctions polynomiales.

 

touches de fonction

 

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