Dérivation, dérivées usuelles et applications économiques
D'abord une indication pour les élèves du secondaire. Afin que vous ne perdiez pas de temps à lire un texte dont le niveau n'est pas adapté à vos attentes, sachez que plusieurs pages de ce site ont été écrites spécialement pour vous sur la dérivation.
Premières toutes filières : le nombre dérivé, la tangente et le lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.
Première générale : la dérivabilité, l'initiation à la dérivation, la dérivée d'une fonction polynôme, la dérivée d'un produit de fonctions et la dérivée d'un quotient de fonctions ainsi que de nombreux exercices. Mentionnons les exercices sur les courbes de dérivées, un exercice sur fonction du second degré, des exercices de minimisations d'aires et d'optimisations de volumes, la fonction inverse et ses tangentes et des problèmes d'économie comme la dérivation sur une fonction de coût et les courbes d'indifférence (à titre de complément). Voir également la fonction exponentielle.
Premières technologiques : le taux d'accroissement, la dérivée d'une fonction du second degré et la dérivée d'une fonction du troisième degré.
Terminale générale : dérivée d'une fonction de type racine carré, dérivée d'une fonction de puissance entière...
Généralités
Bien que les programmes de maths intègrent cette question, elle laisse perplexe plus d’un lycéen : « à quoi sert une fonction dérivée ? ». Réponse : elle permet de mesurer les variations d'une fonction pour toute valeur de \(x\) (du moins là où ladite fonction est dérivable). Mais, lorsque le sujet est abordé en classe de première, elle sert surtout à connaître les intervalles sur lesquels une fonction est croissante ou décroissante alors qu'on ne dispose que de son expression algébrique. Cela peut sembler déroutant au départ mais pour établir un tableau de variation, il est en effet plus simple de passer par la dérivée que par les compositions de fonctions...
La dérivée d'une fonction \(f\) s’écrit \(f’\) ou \(\frac{df}{dx}.\)
Une fonction à valeurs réelles \(f\) est dérivable sur un intervalle si un nombre dérivé existe pour chacune des valeurs de cet intervalle. Elle est continument dérivable (ou régulière) sur un intervalle \(I\) si \(f\) et \(f'\) sont continues sur \(I.\)
Lorsque \(f'\) est positive, \(f\) est croissante et elle est décroissante sur les intervalles où sa dérivée est négative (rappelons que le nombre dérivé d'une valeur \(a\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative au point d'abscisse \(a\)). C'est le principe de Lagrange. L'étude des signes de \(f'\) permet ainsi d'établir le tableau de variation de \(f\) (voir la page sur le signe de la dérivée). Cette étude nécessite souvent une factorisation puis l'établissement d'un tableau de signes Très souvent, on cherche en quel(s) point(s) la dérivée s'annule pour connaître les extremums. Cette recherche ne peut pas toujours être conduite par le calcul et il faut alors se contenter d'une approximation (voir les applications du théorème de la bijection).
Cependant, une richesse supplémentaire réside dans les valeurs prises par la dérivée... Les variations d'une fonction apparaissent bien sûr lorsqu'on trace sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère, surtout si l'on représente les tangentes aux points qui nous intéressent. Mais on peut aussi tracer la courbe de la dérivée elle-même (là où la fonction est dérivable, bien entendu). On lit alors directement sur l'axe des ordonnées le taux de variation de la fonction en tout point.
Le cheminement inverse de la dérivation consiste à déterminer des primitives.
Dérivées usuelles
La dérivée d’un simple nombre est égale à zéro. Si l’on trace la droite horizontale d'équation \(y = 2\) dans un plan muni repère orthogonal, sa tangente est confondue avec elle et n’a donc aucune pente (première ligne du tableau ci-dessous).
La dérivée d’une fonction affine d'expression \(f(x) = ax + b\) est égale à \(a.\) Dans ce cas aussi, il est évident que la tangente ne peut pas effleurer la droite et qu’elle est confondue avec elle. Sa pente est égale à \(a,\) c’est-à-dire que si l’on augmente la valeur de \(x\) de 1, on augmente celle de \(y\) de \(a.\)
Et les fonctions d'expression un peu plus compliquée ?
Les dérivées usuelles sont les suivantes :
Toutefois, ce ne sont généralement pas ces fonctions qui sont à dériver mais des composées de celles-ci (précipitez-vous en page de formules de dérivation).
Quelques applications liées à l'économie d'entreprise
Non, le calul des dérivées ne sert pas qu'à décrocher le bac !
En statistiques, la dérivée d’une fonction de répartition est une fonction de densité. Mais le calcul des dérivées ne fait pas partie du quotidien d’un data analyst…
L’élasticité d’une fonction, particulièrement utile dans la fonction marketing pour établir les prix, est fondée sur la notion de dérivée (voir aussi la page élasticité-prix).
La dérivée d’une fonction de coût total est une fonction de coût marginal (Cf. page exercice sur fonction de coût, niveau première générale).
Si un coût global est décomposable en une somme de deux fonctions de coût qui varient en sens inverse l'une de l'autre, on remarque qu'il est au plus bas là où ces deux fonctions s'égalisent. On peut donc déterminer algébriquement une quantité optimale qui se situe là où la dérivée de la fonction de coût global s'annule. Il est ainsi possible de connaître le volume de stock qui minimise le coût de stockage.
Les mathématiques financières utilisent beaucoup les dérivées mais rarement dans le cadre de fonctions à une seule variable.
D’une manière plus générale, les démonstrations visant à établir des minimaux ou des maximaux s’appuient sur l’annulation de dérivées. Ce type de démonstration est omniprésent dans les manuels de statistiques (exemple en page de moindres carrés).
