Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La dérivation de fonctions puissances entières

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Exercices de dérivation de fonctions puissances

Sur cette page nous vous proposons quelques exercices de dérivées de fonctions de forme (u(x)) (n étant un entier relatif). Le niveau de difficulté correspond à ce que l’on peut attendre d’un élève de terminale S.

Avant de commencer…

Considérons une fonction u(x) définie et dérivable sur un intervalle I.

Considérons aussi une fonction f d'expression un peu plus compliquée, définie par f(x) = (u(x)), n étant un entier relatif non nul. Quid de sa dérivée sur I ?

formule de dérivation

Précaution d’usage : u(x) ne doit pas être nulle si n < 0. Si cela ne vous semble pas évident, souvenez-vous que :

propriété puissance négative

Échauffement

Dériver la fonction suivante, définie sur R :

(x²+4) au cube

Ce qu’il faut trouver :

g’(x) = 3 × (2x) × ( + 4)²
g’(x) = 6x( + 4)²

Exercice 1

Dériver la fonction suivante, définie sur R \ {0,5}

(1/(2x-1))²

Exercice 2

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = ( – 3x – 4)³ et C sa courbe représentative. Calculer son nombre dérivé en -1 et tracer C.

Exercice 3

Soit la fonction u, définie ainsi, sur R \ {-1} :

(2x/(x+1))puiss4

Quelle est sa dérivée ?

Corrigé 1

Rappelons comment dériver cette forme de fonction :

dérivée

Il s’ensuit…

dérivée

Ainsi…

h'

-4/((2x-1)cube)

Corrigé 2

Cette fonction n’est pas très retorse.

f’(x) = 3(2x – 3)( – 3x – 4)²

f’(-1 ) = 3 × (-5) × 0 = 0

courbe

Corrigé 3

Considérons la fonction v définie par v(x) telle que v(x)4 = u(x).

Déterminons sa dérivée v’(x) (voir la page dérivée d’une fonction rationnelle si le souvenir de la formule est trop lointain).

v'

Par conséquent :

u'

u'

64xcube/(x+1)puiss5

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés