Exercice de dérivées sur fonctions de coût

Exercice sur fonctions de coût (niveau première ES)

L’exercice proposé ici est typique des problèmes de maths auxquels sont soumis les élèves de première ES, et moins systématiquement ceux de première S. Il peut aussi s'inscrire dans un programme de première STMG bien qu'il soit un peu plus difficile que les exercices habituellement donnés dans cette filière. Au menu, les dérivées de fonctions polynomiales et l’intersection de courbes représentatives de fonctions. Le tout à la sauce « gestion ».

Énoncé

Une entreprise fabrique de la soupe. Le coût total, exprimé en euros, est donné par la fonction CT.

coût total

q est la quantité exprimée en hectolitres. L’entreprise peut produire entre 0 et 10 hl de soupe dans la journée.

1. Déterminer les coûts fixes et le coût total induit par une production de 10 hectolitres. Tracer la courbe représentative de la fonction sur [0 ; 10] et commenter.

2. Sachant que le coût marginal de production est assimilé à la dérivée du coût total, donner l’expression de Cm(q), fonction de coût marginal. Dresser le tableau de variation de Cm(q) et commenter.

3. Donner l’expression de CM(q), fonction du coût moyen, et montrer que sa dérivée peut s’écrire ainsi :

dérivée du coût moyen

Établir le tableau de variation de cette fonction et déterminer la quantité de soupe à produire pour que le coût moyen soit minimal.

4. Représenter graphiquement les fonctions de coût marginal et de coût moyen.

5. Vérifier par le calcul que le niveau de production pour lequel le coût moyen est égal au coût marginal correspond au coût moyen minimal. Commenter.

Éléments de correction

NB : certains commentaires ne seront pas exigibles au programme de maths de première. Ce sont juste des apartés de culture économique.

1. Les coûts fixes sont ceux que l’entreprise supporte même si la production est nulle. Nous avons CT(0) = 98. Donc, les coûts fixes sont de 98 euros.

Le coût total qui correspond à la production maximale est donné par CT(10).

CT(10) = (0,5 × 10³) – (5 × 10²) + (40 × 10) + 98 = 498. Il coûte 498 euros de produire 10 hl de soupe.

Ci-dessous, la courbe a été réalisée sur GeoGebra.

coût total

Nous remarquons que la fonction CT est strictement croissante sur son domaine de définition, ce qui est logique dans la mesure où les coûts s’accroissent avec la production. La configuration de la courbe est typique d’une évolution de coûts en milieu industriel : on remarque l’importance des coûts fixes, un accroissement sensible dès les premiers produits fabriqués, puis une augmentation moins marquée qui coïncide avec une plage de production « normale » et enfin une sorte de surchauffe lorsque les capacités productives commencent à être saturées.

2. Nous avons Cm(q) = CT’(q) = 1,5  – 10q + 40

Le discriminant est égal à 100 – 240 = -140. Comme il est négatif, le signe du trinôme est celui du coefficient du carré, donc positif puisque 1,5 est positif. Cette remarque corrobore l’observation précédente, à savoir que CT est strictement croissante.

3. Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité.

coût moyen

Cette fonction n’est pas définie en 0. L’établissement du tableau de variation nécessite l’étude du signe de la dérivée de CM sur ]0 ; 10].

dérivée

Prenons l’expression de cette dérivée telle qu’elle est indiquée dans l’énoncé et vérifions que nous pouvons obtenir la même écriture que ci-dessus.

vérification

Pour dresser le tableau de variation de CM, déterminons le signe de sa dérivée. Bien sûr, on s’appuie sur la forme donnée dans l’énoncé mais il faut terminer la factorisation si c'est possible. Soit le trinôme  + 2q + 14. Le discriminant est négatif (-52) et il n’y a donc aucune racine réelle. Ce trinôme n’est pas factorisable et son signe est positif (coefficient de  = +1). Comme le dénominateur de CM est lui aussi positif sur ]0 ; 10], le signe de CM est le même que celui de (q – 7), seul facteur susceptible d’être négatif.

tableau de variation

Le coût est minimal lorsque sept hectolitres de soupe sont produits (soit 43,50 € / hl).

4. Courbes tracées avec GeoGebra.

courbes de coûts

5. Cm(7) = (1,5 × 7²) – (10 × 7) + 40 = 43,5 = CM(7)

Cet exemple illustre un point bien connu de la micro-économie : le coût marginal est égal au coût moyen lorsque celui-ci est minimum. Plus généralement, un coût moyen est décroissant lorsqu’il est supérieur au coût marginal et il est croissant lorsqu’il lui est inférieur.

 

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