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(et fondements mathématiques)

Les intervalles

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Représentations, unions et intersections d'intervalles

Bien souvent, c’est par ici que commence le programme de maths de seconde. Ça signifie que les intervalles sont une notion de base, à maîtriser impérativement. Et pour que vous deveniez grand-maître des intervalles, eh bien il suffit d’assimiler le contenu de cette modeste page…

En effet, au cours de l'année de seconde, les intervalles se rencontrent dans plusieurs circonstances : soit ils indiquent l'ensemble de définition d’une fonction, soit ils permettent de présenter le résultat d’une inéquation. Le programme permet aussi de découvrir les intervalles de fluctuation et les intervalles interquartiles.

Selon le Petit Larousse, un intervalle (nom masculin) est un « ensemble de nombres x compris entre deux nombres a et b ». En fait, cette définition n’est pas tout à fait exacte car a ou b peuvent être infinis (et du coup, ce ne sont pas des nombres).

Alors que la ou les solution(s) d’une équation et plus généralement un ensemble fini de valeurs est présenté entre accolades, un intervalle se note quant à lui avec des CROCHETS.

Ainsi, l’ensemble des réels compris entre 2 et 4 s’écrit [2 ; 4] si les valeurs 2 et 4 sont comprises. Ce type d’intervalle est fermé. Remarquez que les bornes des intervalles sont toujours indiquées de la plus petite à la plus grande.

Là où ça se complique (mais pas beaucoup), c’est que les valeurs 2 et 4 peuvent être exclues. L’intervalle est alors ouvert et les crochets semblent rejeter nos deux bornes : ]2 ; 4[.

Comme tous les cas existent, on trouve aussi des intervalles semi-ouverts, c’est-à-dire ouverts d’un seul côté : ainsi ]2 ; 4] et [2 ; 4[ sont semi-ouverts.

Une inégalité LARGE, c’est-à-dire « inférieur ou égal à » ou « supérieur ou égal à » se traduit donc par un crochet fermé et une inégalité STRICTE se traduit par un crochet ouvert. Lorsqu’un texte ne précise pas qu’une inégalité est large ou stricte, on suppose qu’elle est large.

Un intervalle peut ne pas être borné. On le note alors avec le signe infini, mais toujours avec un crochet ouvert (ce qui est une convention assez logique)… Ainsi l’ensemble des réels peut-il être présenté de deux façons :

réels

L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des valeurs communes aux deux intervalles. Le signe d’intersection est « ∩ » mais dans le programme de seconde on le trouve surtout dans les probabilités. Il correspond à la conjonction ET : la valeur est comprise dans le premier intervalle ET dans de second.

L’union, notée « ∪ », est beaucoup plus utile puisqu’elle permet d’indiquer une plage de valeurs « trouée ». Par exemple, l’ensemble des nombres situés entre -2 et 3, bornes comprises, mais privé de 0 s’écrit [-2 ; 0[ ∪ ]0 ; 3]. Remarquez au passage l’emploi de crochets ouverts qui est la ruse habituelle pour éliminer une valeur dont on n’a que faire (voir exercice plus bas). L’union correspond à la conjonction OU.

Enfin, on indique le fait qu’un élément x se trouve dans un intervalle grâce au signe d’appartenance « ∈ » (se lit : « appartient à »). Ne pas le confondre avec le signe d’inclusion « ⊂ », que l’on rencontre moins souvent et qui s’applique à un sous-ensemble, par exemple pour écrire qu’un intervalle est inclus dans un autre.

Une façon d’illustrer les intervalles est de les représenter à l’aide de droites graduées. Typiquement, ce type de graphique se rencontre au début de la seconde avant de disparaître à jamais des études ! Ci-dessous est tracée la représentation de l’intervalle ]-2 ; 6]. Les crochets figurent sur le graphe, sauf à l’infini. S’ils n’étaient pas indiqués, la représentation ne pourrait pas être précise.

droite graduée

Exemples :

Exercice

Résoudre sur R l’inéquation suivante en déterminant préalablement l'ensemble de définition D :

exemple d'inéquation

Éléments de correction

Le dénominateur ne doit pas être nul, ce qui suppose x ≠ 7.

Donc, D = ]-∞ ; 7[ ∪ ]7 ; +∞[.

Le dénominateur étant un carré, il ne peut pas être négatif. Donc, sur D, notre inéquation devient :

x – 5 ≥ 0
⇔ x ≥ 5

L’ensemble des réels supérieurs à 5 est solution de l’inéquation à l’exception de 7, valeur pour laquelle l’inéquation est impossible. Présentons l’ensemble des solutions S sous forme d’intervalle :

S = [5 ; 7[ ∪ ]7 ; +∞[

Notez que le premier crochet est fermé parce que l’énoncé indique une inégalité large. Si l’on présente S sous forme d’encadrement, nous écrivons :

5 ≤ x < 7 ou x > 7

 

copies blanches

 

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