Lien entre fonction et dérivée, exercices graphiques
C’est une étape de la plus haute importance dès lors qu’il s’agit d’étudier une fonction : faire le lien entre son sens de variation et le signe de sa dérivée. Détaillons le pourquoi et le comment de cette correspondance dans une initiation pour élèves de première générale ou technologique.
Problématique
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) telle que pour toute valeur \(x\) de \(I\) le nombre dérivé \(f’(x)\) existe. Bon, les présentations sont faites, passons à l’action.
Lorsque sur un intervalle les nombres dérivés sont positifs, c’est qu’à cet endroit-ci la fonction est croissante. Graphiquement, ça se traduit par une courbe qui monte et une tangente qui en fait de même puisque son coefficient directeur est positif. Et inversement sur les intervalles où le nombre dérivé est négatif. Lorsque celui-ci est nul, \(f\) admet un extremum (minimum ou maximum) ou parfois un point d’inflexion avec tangente horizontale. Notez bien que tout ceci n’est qu’une synthèse de notions déjà vues dans les classes de seconde et de première. Il n’y a pas d’élément nouveau.
La fonction qui à tout réel \(x\) de \(I\) associe le nombre dérivé de \(f\) est la fonction dérivée f’. Par conséquent, lorsqu’on connaît l’expression algébrique de \(f,\) il faut étudier le signe de sa fonction dérivée et indiquer, éventuellement dans un tableau, les intervalles sur lesquels elle est positive, négative ou nulle puis calquer dessus le tableau de variation de \(f.\) C’est un premier type d’exercice pour lequel il faut savoir dériver une fonction. Inversement, si au départ on dispose de sa courbe représentative ou mieux, du tableau de variation de \(f,\) il est facile d’en déduire le signe que prend sa dérivée \(f'\) sur un intervalle. C’est ce second ces de figure que nous verrons ci-dessous.
Exemple d’un tableau de variation :
\(f\) est d’abord décroissante puis elle admet un minimum et devient croissante. Nous en concluons que sa dérivée \(f'\) est négative sur \([-2\,;0[\) puis qu’elle s’annule lorsque \(f\) change de signe et devient ensuite positive :
Attention, répétons-le, le signe de \(f’\) n’a pas de rapport avec le signe de la fonction mais avec son SENS de variation.
Ce qu’il est important de comprendre, c’est que \(f’\) est aussi une fonction et donc qu’il est possible de la représenter, tout comme \(f,\) par une courbe. Du coup, il existe un exercice assez classique qui se présentera bientôt à vous. Il s’agit d’un quiz (ou d’un QCM, pour faire plus sérieux) qui consiste, à partir de la courbe représentative d’une fonction, à deviner parmi plusieurs autres courbes laquelle est celle de sa dérivée. Ce type d’exercice se rencontre aussi bien en première qu’en terminale, toutes filières confondues. Afin de vous préparer à cette redoutable épreuve, trois quiz vous sont présentés ici (réalisation Geogebra). Trois autres vous attendent en page exercices sur courbes de dérivées. Voir aussi l'exercice sur dérivée de fonction de degré 3 (plutôt pour premières technologiques) et le problème avec fonction inverse (première générale et terminales technologiques).
Exercice 1
Soit la courbe \(C_f\) ci-dessous, représentant la fonction \(f.\)
Laquelle de ces trois courbes représente sa dérivée \(f’\) ?
Exercice 2
Même question. La tangente au point d’abscisse 3 est tracée en rouge.
Les prétendantes au titre sont :
Exercice 3
Une course de podracers aura lieu sur la planète Tatooine. Lors d’une séance d’essais, Sebulba enregistre sa vitesse sous forme de courbe :
Parmi les trois courbes ci-dessous, laquelle représente l’accélération du podracer ?
Corrigés
Corrigé 1 : \(C_f\) montre que la fonction est croissante jusqu’à 0 puis décroissante. La courbe de la dérivée doit donc se trouver au-dessus de l'axe des abscisses jusqu’à \(x = 0.\) Éliminons la première qui ne devient négative qu’à partir de \(x = 1.\) Vers \(x = -4,\) \(C_f\) est presque horizontale, donc son coefficient directeur est presque nul. Ceci ne correspond pas à la troisième courbe mais parfaitement à celle du milieu, qui est donc la bonne.
Corrigé 2 : la fonction est croissante et on élimine la courbe 2 qui représente une fonction négative pour \(x < 0.\) Il suffit de « compter les carreaux » pour savoir que le coefficient directeur de la tangente est 3, donc \(f(3) = 3.\) C’est la n°3 qui satisfait ce critère puisque le point de coordonnées \((3\,; 3)\) se trouve sur la courbe.
Corrigé 3 : l’accélération est la dérivée de la vitesse. Remarquons que la vitesse a tôt fait de rester à peu près stable alors qu’au départ l’accélération est fulgurante. La courbe représentant la dérivée doit donc montrer des valeurs très élevées peu après 0 puis se stabiliser sur des valeurs très faibles mais toujours positives (sur les 6 premières secondes de l’essai il n’y a pas de ralentissement). Donc, courbe n° 2.
