Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Une initiation à la dérivation

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Dérivation de fonctions simples

Programmes dans lesquels cette page trouve sa place : première ES et première S.

Vous savez sans doute qu’à chacune des valeurs de x pour lesquelles une fonction f est définie est associé un « taux de variation instantané » (sauf exceptions). C’est le nombre dérivé qui se lit graphiquement à l’aide du coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d’abscisse x.

La fonction qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f est la fonction dérivée f’. Cette notion de fonction dérivée est fondamentale et vous ne pourrez plus vous en passer. Certes, vous parviendrez encore à beurrer une tartine sans penser à la dérivation mais vous vous rendrez vite compte que pour obtenir un nombre dérivé en a, il est plus simple de dériver toute la fonction puis de calculer f’(a) plutôt que d’établir la limite en 0 de l’écart du taux de variation comme indiqué en page nombre dérivé.

Le lien entre une fonction et sa dérivée est visible graphiquement (voir la page signe de la dérivée et ses exercices). Autre exemple de tracés en page fonction inverse.

Exemple : ci-dessous, la courbe rouge représente la fonction f définie sur R par f(x) = 0,02 – 1 (réalisation sur SineQuaNon). La verte représente sa dérivée f'(x) = 0,06 (nous verrons plus loin comment elle a pu être déterminée). f étant toujours croissante, f’ est positive (courbe au-dessus de l'axe des abscisses). En 0, f n'est ni croissante ni décroissante.

courbe et dérivée

Tout ceci offre d’alléchantes perspectives de travail mais par quelles mystérieuses formules peut-on déterminer la dérivée d’une fonction ?  Sans plus attendre, les voici :

dérivées usuelles

Nb : l’ensemble de dérivabilité est l’ensemble de définition de la dérivée.

Mais avec ces formules on ne va pas très loin. Que se passe-t-il si une fonction f est multipliée par un réel ? Que faire lorsque f se présente comme une opération de deux ou plusieurs fonctions (en clair, lorsqu’il y a plusieurs fois x dans l’expression de f) ?

Nommons u et v deux fonctions qui composent f et voici de nouvelles formules qui ne demandent qu’à être apprises par cœur.

opérations sur dérivées3

C’est en mixant ces différentes formules que l’on dérive une fonction (mais vous aurez la chance d’apprendre d’autres formules durant vos études puisqu’il existe d’autres types de fonctions, Cf. pages dérivation et opérations sur dérivées).

Par exemple, on voit que la dérivée de la fonction carré est 2x et que si f(x) = ku alors f’(x) = ku’. Par conséquent, supposons une fonction g(x) = 5. Quelle est sa dérivée ? Réponse : g’(x) = 5 × 2x = 10x

Ainsi, la dérivée d’une fonction affine ou d’une fonction linéaire est égale à un simple nombre (le coefficient directeur).

D’une façon générale, une fonction polynomiale du second degré, c’est-à-dire de type f(x) = ax² + bxc est dérivable sur l’ensemble des réels et f’(x) = 2ax + b. Davantage de détails en page dérivée d’une fonction du second degré.

De même, ces formules nous permettent facilement de deviner quelle est la dérivée d’une fonction du troisième degré. Soit f(x) = ax³ + bx² + cx + d, alors f’(x) = 3ax² + 2bx + c. Si f(x) = 0,02 – 1, alors f’(x) = 0,06. Exercice en page dérivée d’une fonction du troisième degré.

La dérivée d'une multiplication de fonctions, de type (u × v)', est traitée en page dérivée d'un produit de deux fonctions.

La dérivée d'une division de fonctions, de type (u / v)', est traitée en page dérivée d'un quotient de fonctions.

Exercice : soit la fonction polynomiale :

f

Soit la fonction g :

g

Soit la fonction h :

h

Quelles sont leurs dérivées ?

Éléments de correction

f'

g'

h'

 

formules

 

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