Une initiation aux courbes d'indifférence

Exercice simple sur courbes d'indifférence

Il existe un domaine d’études économiques qui rebute souvent les étudiants par son recours systématique aux mathématiques, peu compatible avec la réalité des comportements humains : la microéconomie. Certaines notions peuvent néanmoins être abordées à la faveur d’un exercice ou de travaux pratiques de maths dès la classe de première. C’est dans cette esprit que cette page a été écrite. Toutefois, les étudiants qui abordent le sujet peuvent y trouver des explications progressives, dans un langage mathématique familier, et admettre qu’après tout, ce n’est pas si difficile que cela…

Comme en première il n’y a pas de cours de microéconomie mais une initiation à la dérivation, cette page prendra la forme d’un exercice, corrigé au fil des questions.

 

Niveau de satisfaction

Pepe soigne son jardin. Au printemps, il crée des plates-bandes de narcisses et de tulipes. Économiquement, ce sont deux biens que Pepe peut acheter. Comme il préfère des plates-bandes mixtes, ce sont deux biens substituables. Ainsi, il achètera une certaine quantité d’une espèce plutôt qu’une autre en fonction de ses goûts et de son budget.

Nous nommerons \(x\) la quantité de narcisses et \(y\) la quantité de tulipes achetées par Pepe.

On admet que son niveau de satisfaction peut être « résumé » par une fonction. Appelons-la \(U\) (comme Utilité).

Admettons que \(U(x,y) = xy\) (il aime autant les narcisses que les tulipes). Bien sûr, \( x > 0\) et \(y > 0.\)

Questions : quel est le niveau de satisfaction de Pepe s’il possède 50 fleurs de chaque espèce ? Et s’il possède 100 narcisses et 2 tulipes ? Conclure.

Réponses : S’il possède 50 fleurs de chaque espèce, sa satisfaction (ou son « utilité ») est égale à \(50 \times 50 = 2\,500.\) S’il possède 100 narcisses et 2 tulipes, sa satisfaction n’est que de \(100 \times 2 = 200.\) Nous pouvons en conclure que Pepe préfère, et de loin, la solution où il possède 50 fleurs de chaque espèce. Et pourtant, dans l’autre cas, il possède plus de fleurs ! L’expression de la fonction \(U\) traduit cette préférence pour le panachage. Remarquez que Pepe aime autant posséder 100 narcisses et 2 tulipes que 2 narcisses et 100 tulipes.

 

Courbe d’indifférence

Graphiquement, les couples \((x\,;y)\) permettant d’obtenir un même niveau de satisfaction se traduisent par une courbe. On l’appelle courbe d’indifférence. Il y en a autant que de niveaux d’utilité.

Intéressons-nous au niveau 500. C’est donc l’ensemble des couples \((x\,;y)\) qui permettent d’obtenir 500. Donc \(U(x, y) = 500.\)

Au lycée, ce type de présentation peut perturber. C’est une fonction à deux variables, ce qui n’est pas au programme ! Présentons les choses de façon habituelle, avec \(y\) qui varie en fonction de \(x.\)

À faire : exprimer \(y\) en fonction de \(x\) et tracer la courbe. Donner quelques exemples d’assortiments de fleurs permettant d’obtenir ce même niveau de satisfaction.

Corrigé :

\(xy = 500\)
\(\Leftrightarrow y = \frac{500}{x}\)

La courbe est tracée avec GeoGebra :


Exemples conduisant à une utilité de 500 : 1 tulipe et 500 narcisses, 10 tulipes et 50 narcisses, 100 tulipes et 5 narcisses… Notez que l’on a défini \(x\) et \(y\) comme strictement positifs car, dans cet exemple, il n’est pas possible à Pepe d’être satisfait en ne possédant qu'une seule espèce de fleur.

 

Courbes d’indifférence de niveau \(n\)

Nous avons vu que cette même fonction \(U\) pouvait s’appliquer à des niveaux différents. Au lycée, on considère rarement les choses ainsi et l’on admet qu’il y a autant de fonctions différentes qu’il y a de niveaux d’utilité. Peu importe. Traçons les courbes pour des niveaux de 100 en 100, jusqu’à 600.

 

Droite de budget

Admettons qu’un narcisse coûte 50 cts et une tulipe 80 cts. Le budget de Pepe est de 20 euros.

À faire : traduire cette hypothèse sous forme d’équation puis d’équation réduite d’une droite.

Cette droite est appelée droite de budget.

Sur le graphe précédent, tracer la droite correspondant au budget de 20 euros (en rouge).

Corrigé :

\(0,5x + 0,8 y = 20\)
\(\Leftrightarrow 0,8y = 20 - 0,5x\)
\(\Leftrightarrow y = - 0,625x + 25\)

Pour tracer une droite de budget, le plus simple est de placer les points pour \(x = 0\) et \(y = 0.\)

Remarquez qu’une droite de budget peut être une tangente à une courbe d’utilité. Que signifie cette belle découverte ? Que si Pepe se donne un budget, il peut définir par le calcul sa combinaison de fleurs préférée !