Élasticités instantanée et de substitution
Voici une notion mathématique que les économistes affectionnent tout particulièrement. Et pas seulement eux, d’ailleurs. Tandis que le responsable du marketing s’intéresse à l’élasticité du prix par rapport à la demande (voir l'élasticité-prix) ou de cette même demande par rapport à une dépense publicitaire, le contrôleur de gestion observe l’élasticité d’un résultat par rapport à un chiffre d’affaires (levier opérationnel) et l'investisseur étudie la sensibilité d'une obligation aux taux d'intérêt. L’élasticité d’une production par rapport à un facteur travail ou capital est un concept plus théorique mais reste une notion fondamentale de microéconomie.
Après cette alléchante introduction, il est évident que vous mourrez d'envie d'en savoir davantage.
Élasticité d’une fonction à une variable
Au lycée, le concept d'élasticité est étudié en cours de SES (Sciences Économiques et Sociales). Il s'agit alors d'un outil de mesure discrète puisque c'est un rapport entre deux taux de croissance (voir page d'initiation à l'élasticité). En terminale, cet outil est employé dans le cadre d'évolutions continues, donc d'exercices de mathématiques.
Soit une fonction \(f\) non nulle et dérivable au point d’abscisse \(a.\) L’élasticité de \(f\) en a se détermine ainsi :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{f(x) - f(a)}}{{f(a)}}}}{{\frac{{x - a}}{a}}}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{{af'(a)}}{{f(a)}}}\)
La forme \(\frac{f'(a)}{f(a)}\) est appelée dérivée logarithmique puisque c’est la dérivée de \(\ln |f(a)|\).
On qualifie cette élasticité d’instantanée.
Exemple : calculons l’élasticité instantanée \(E\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^n\) au point d’abscisse \(a.\)
\(E\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{a \times na^{n-1}}{a^n}}\) \(=\) \(n\)
Moralité : l’élasticité d’une fonction puissance est constante.
Nous verrons que l'interprétation de l'élasticité est assez simple.
Élasticité de substitution
Cette élasticité n’est guère utilisée qu’en économie. La fonction de production de Cobb-Douglas ou la fonction CES (Constant Elasticity of Substitution) s’appuient sur cette notion.
Pour bien la saisir, il faut d’abord définir le taux marginal de substitution. Quelle est cette barbarie ? C’est la quantité nécessaire pour quelque chose de compenser la perte d’autre chose. Elle est rarement stable. Par exemple, il est logique de demander des heures supplémentaires de mieux en mieux payées au fur-et-à-mesure qu’elles empiètent sur des temps supplémentaires de repos et de loisirs. La courbe qui représente l’ensemble des points de substitution forme une courbe d’indifférence.
Donc, prenons un taux marginal de substitution, soit entre deux facteurs de production (travail et capital), soit entre deux biens substituables pour le consommateur (train ou avion, par exemple). Lorsque ce taux varie, on observe évidemment une évolution de la proportion optimale entre travail et capital employés (ou entre les deux biens consommés). Cette évolution est appelée « élasticité de substitution ».
Exemple d’élasticité instantanée
L’illustration qui suit est extraite de l’épreuve de mathématiques du bac ES de juin 2008 (Liban).
Une première partie, non reprise ici, consiste à étudier la fonction définie sur \([0\,; +\infty[\) par \(f(x) = (x + 8)e^{-0,5x}\)
Deuxième partie :
- La fonction de demande d’un produit informatique est modélisée par la fonction \(f.\) Le nombre \(f(x)\) représente la quantité demandée, exprimée en milliers d’objets, lorsque le prix unitaire est égal à \(x\) centaines d’euros.
Calculer le nombre d’objets demandés, à l’unité près, lorsque le prix unitaire est fixé à 200 euros.
Commentaire : il s’agit d’une fonction décroissante du prix, comme le sont la plupart des fonctions de demande. Cette première question nécessite de remplacer \(x\) par 2. On obtient \(10e^{-1},\) c’est-à-dire 3 679 unités.
Zappons la deuxième question pour arriver à l’étude de l’élasticité.
- L’élasticité \(E(x)\) de la demande par rapport au prix \(x\) est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de \(1\%\) de \(x.\) On admet qu’une bonne approximation de \(E(x)\) est donnée par \(E(x) = \frac{f’(x)}{f(x)} × x.\)
Démontrer que \(\displaystyle{E(x) = \frac{-0,5x^2 - 3x}{x + 8}}\)
Déterminer le signe de \(E(x)\) sur \([0\,; +\infty[\) et interpréter ce résultat.
Calculer le prix pour lequel l’élasticité est égale à -3,5. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?
Lors de l’épreuve, on ne demandait pas de calculer la dérivée de la fonction \(f\) puisqu’elle était donnée dans la première partie du problème : \(f’(x)\) \(= (-0,5x - 3)e^{-0,5x}.\)
Donc :
\(E(x)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{x(-0,5x - 3)e^{-0,5x}}{(x + 8)e^{-0,5x}}}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow E(x) = \frac{-0,5x^2 - 3x}{x + 8}}\)
Pour déterminer le signe de \(E(x),\) l’astuce consiste à mettre en facteur ce qui est positif afin de déblayer le terrain.
\(\displaystyle{E(x) = \frac{x}{x + 8} \times (-0,5x - 3)}\)
Comme \(\frac{x}{x + 8}\)est positif sur l’ensemble de définition \(\mathbb{R}_+\) et que le signe de \((-0,5x - 3)\) ne peut être que négatif, on peut affirmer haut et fort que \(E(x) < 0.\)
Non seulement la demande diminue en fonction du prix, mais lorsque le prix augmente de \(1\%,\) la demande en pourcentage diminue…
La dernière question demandait de résoudre \(E(x) = -3,5,\) ce qui revient à trouver les racines du trinôme \(x^2 - x - 56.\)
Le discriminant \(\Delta\) est égal à 225 et les racines sont -7 (solution dont on se fiche, vu que l'on cherche un nombre positif) et 8. Donc, \(S = \{8\},\) c’est-à-dire 800 euros.
Par conséquent, si le prix augmente de \(1\%\) (passant en l’occurrence de 800 à 808 euros), la demande diminue de \(3,5\%.\)
