Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La dérivée d'un quotient de fonctions

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Exercices de dérivées de type (u / v)'

Le niveau de difficulté de cette page est celui d’une classe de première ES, de première S, de première STI2D/STL ou de terminale STMG. Il s’agit d’exercices classiques de dérivation de fonctions rationnelles et d’une démonstration très simple qu’un élève de première S doit pouvoir reproduire sans se prendre la tête.

Au préalable

Rappel de la formule de dérivation. Soit les fonctions dérivables u et v (v(x) ≠ 0), la fonction f étant leur quotient. Alors f est dérivable :

(u/v)'

On présente parfois la formule de façon plus condensée…

(u/v)'

Bien sûr, si u(x) = 1, la dérivée prend une forme plus simple : -u' / u². Et si v(x) = x, c'est-à-dire si l'on dérive la fonction inverse, on obtient -1 / x².

Exercice 1

Dériver la fonction homographique f là où elle est dérivable, c'est-à-dire sur R \ {-4}

homographique

Exercice 2

Dériver la fonction g sur R \ {⅓} :

g(x)

Exercice 3

Soit la fonction h définie et dérivable sur R \ {-1}. Déterminer son ou ses extremum(s) éventuel(s).

h(x)

Exercice 4 (première S)

Démontrer la formule de dérivation de u / v

Exercice 5 (bac ES)

Voir la page exercice sur la convexité, question 1.

Vous avez trouvé ? Bravo. Sinon, voici des éléments de correction qui vous aideront à faire mieux la prochaine fois !

Corrigé 1

Nous avons u = 2x – 3 et u’ = 2, v = x + 4 et v’ = 1

dérivée

Surtout ne pas oublier les parenthèses au numérateur et bien noter que le dénominateur ne doit pas être développé.

Remarquez au passage que f n’admet pas d’extremum (f’ ne s’annule jamais).

Corrigé 2

Nous avons u =  + 2x – 4 et u’ = 2x + 2, v = 3x – 1 et v’ = 3

g'(x)

Développons le numérateur.

g'(x)

g'(x)

Lorsque c’est possible, il est préférable de factoriser le numérateur, ce qui permet d’étudier le signe de la dérivée. Ici, le calcul du discriminant conduit à un résultat négatif (Δ = -116) et notre beau projet de factorisation tombe à l’eau. Mais l’entreprise était inutile puisque nous savons que g’ est positive sur son ensemble de définition.

Corrigé 3

Pour connaître le(s) extremum(s), il convient d’annuler la dérivée. Donc, forcément, commencer par déterminer cette dernière…

u = x² – x – 1, u’ = 2x – 1, v = x + 1, v’ = 1

h'(x)

Comme d’habitude, développons.

h'(x)

La suite de la procédure est l’équation h’(x) = 0. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul. Il s’ensuit…

x(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = -2

S = {-2 ; 0}

Corrigé 4

Rappels : la dérivée d’un produit de deux fonctions est (uv)’ = u’v + uv’ et la dérivée d’une inverse est (1 / v)’ = -(v’ / v²) dans la mesure où v n'est pas nul. Ceci remémoré, posons…

démonstration

Développons.

développement

Youpi.

 

(u/v)'

 

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