La tangente

Tangente et demi-tangente

Cette page introduit la notion de tangente. Elle s'inscrit pour l'essentiel dans les programmes de première générale et de premières technologiques. Elle suppose que le concept de nombre dérivé est bien compris.

 

Présentation

Vous avez appris ce qu'est un taux d'accroissement (ou taux de variation) entre deux points. Graphiquement, cet accroissement prend la forme d'une droite entre deux points d'une courbe représentative d'une fonction. Lorsque ceux-ci sont infiniment proches, cette droite devient une tangente.

Une tangente est donc la droite qui « effleure » une courbe en un point, du moins lorsque c’est possible. C’est-à-dire qu’elle ne traverse pas la courbe autour de ce point mais, en le frôlant avec toute la délicatesse qu’on lui connaît, elle constitue à cet endroit une approximation affine de la fonction : si l'on zoome sur une portion infinitésimale de la courbe, on n'observe qu'une droite (tout comme on ne remarque pas la courbure du globe terrestre en observant juste quelques mètres de terrain). Mathématiquement, c’est comme si un point possède une direction, bien qu’il soit infiniment petit, et cette direction est amplifiée par une droite.

Terre

L'équation réduite d'une tangente est donc généralement celle d'une fonction affine bien qu'à certains endroits il puisse se trouver une tangente horizontale (pas de tangente verticale au programme de première).

Au point d’abscisse a, on obtient l'équation de la droite avec la formule bien connue et démontrée en page d'exercices sur nombres dérivés : \(y = f’(a)(x - a) + f(a).\)

\(f'(a)\) est le nombre dérivé de \(a.\) Nous vérifions sur la formule que c'est aussi le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse \(a\) puisque c'est le nombre qui multiplie \(x.\)

Donc, plus le nombre dérivé en un point s'éloigne de zéro, plus la courbe représentative de la fonction montre, à cet endroit-ci, une pente raide. Les lieux associés à une dérivée négative se situent sur des intervalles de décroissance. Là où la dérivée est nulle, la tangente est horizontale puisqu'elle n'a pas de coefficient directeur. Il s'agit souvent d'un extremum.

Il arrive qu’une tangente TRAVERSE une courbe au voisinage d'un point nommé point d'inflexion (par exemple la fonction cube, au point d’origine).

Dernière précision : la fonction n'est pas toujours dérivable pour toute valeur de \(a.\) Si elle n'est pas définie, l'affaire est réglée. Il n'y a pas de tangente. D'autres cas particuliers existent (voir en fin de page).

 

Exercices

Deux types d'exercices vous sont habituellement proposés : trouver l'équation d'une tangente au point d'abscisse \(x_0\) à partir d'un graphe ou de l'expression d'une fonction. Voici les étapes que vous devrez suivre.

2 types d'exercices

Note : la procédure de droite suppose que vous sachiez dériver une fonction, ce qui n'est pas toujours le cas au moment où vous découvrez ce qu'est une tangente. Il faut alors directement calculer le nombre dérivé avec le taux de variation.

Exercice 1 : déterminer l'équation de la tangente au point de coordonnées \((2\,; 0)\) sachant qu'elle passe par le point de coordonnées \((0\,;-4).\)

courbe et tangente

Corrigé : le coefficient directeur (nombre dérivé) est \(\frac{0 + 4}{2 - 0} = 2.\)

Utilisons \((2\,; 0)\) : \(0 = 2 \times 2 + b\)

Donc \(b = -4\) et la tangente a pour équation \(y = 2x - 4\)

Exercice 2 : soit la fonction \(f: x \mapsto x^3 + 2x^2 + 1.\) Déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse -1.

Corrigé : \(f(-1) = -1 + 2 + 1 = 2\)

\(f'(x) = 3x^2 + 4x\) d'où \(f'(-1) = 3 - 4 = -1\)

\(y = 2 -1(x + 1)\)
\(\Leftrightarrow y = -x + 1\)

Si vous êtes en première générale, essayez aussi l'exercice de la page sur la fonction inverse et tangentes et les exercices sur tangentes puis découvrez une utilité économique en page d'exercice sur courbes d'indifférence. En première technologique, l'exercice sur dérivée d'une fonction de degré 3 est fait pour vous.

 

Compléments

(Ce qui suit n'est pas au programme de première)

Et au fait, pourquoi nomme-t-on ainsi une TANGENTE ?

À moins d’être horizontale, une tangente forme un angle avec l’axe des abscisses. À partir du cercle trigonométrique, on lit la valeur de cet angle sur la droite de tangence qui frôle le cercle au point de contact \((1\,;0).\) Prenons par exemple un angle de 45°. Dans un plan muni d'un repère orthonormé, il correspond à un coefficient directeur de 1. En radian, cet angle a pour valeur \(\frac{\pi}{4}.\) Appliquons la fonction tangente à cette valeur : \(\tan \frac{\pi}{4} = 1.\)

Demi-tangente : on observe éventuellement des demi-tangentes, par exemple aux bornes d’un ensemble de définition ou sur un point anguleux. Le graphe ci-dessous représente la fonction \(f: x \mapsto (x - 2)^{\frac{2}{3}} + 2\) (réalisation Geogebra).

point anguleux

Normale : la normale d’une courbe en un point est la droite perpendiculaire à la tangente. Sa pente est égale à \(-\frac{1}{a}.\)

Sous-tangente : voir la page sur les sous-tangentes et l'exercice avec sous-tangentes.

 

tangente