Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La tangente

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Tangente et demi-tangente

Cette page introduit la notion de tangente. Elle s'inscrit pour l'essentiel dans les programmes de première ES et de première S. Elle suppose que le concept de nombre dérivé est bien compris. Les élèves de première STMG et de terminale STMG trouveront eux aussi tout renseignement utile sur les tangentes.

Une tangente est la droite qui « effleure » la courbe représentative d’une fonction en un point, du moins lorsque c’est possible. C’est-à-dire qu’elle ne traverse pas la courbe au voisinage de ce point mais, en le frôlant avec toute la délicatesse qu’on lui connaît, elle constitue à cet endroit une approximation affine de la fonction : si l'on zoome sur une portion infinitésimale de la courbe, on n'observe qu'une DROITE (tout comme on ne remarque pas la courbure du globe terrestre en observant juste quelques mètres de terrain). Mathématiquement, c’est comme si un point possède une direction, bien qu’il soit infiniment petit, et cette direction est amplifiée par une droite.

L'équation réduite d'une tangente est donc généralement celle d'une fonction affine bien qu'à certains endroits il puisse se trouver une tangente horizontale (pas de tangente verticale au programme de première).

Au point d’abscisse a, on obtient l'équation de la droite avec la formule bien connue : y = f’(a)(x – a) + f(a).

f'(a) est le nombre dérivé de a. Nous vérifions bien sur la formule que c'est aussi le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a puisque c'est le nombre qui multiplie x.

Donc, plus le nombre dérivé en un point s'éloigne de zéro, plus la courbe représentative de la fonction montre, à cet endroit-ci, une pente raide. Les lieux associés à une dérivée négative se situent sur des intervalles de décroissance. Là où la dérivée est nulle, la tangente est horizontale puisqu'elle n'a pas de coefficient directeur. Il s'agit souvent d'un extremum.

Il arrive qu’une tangente traverse une courbe au voisinage d'un point nommé point d'inflexion (par exemple la fonction cube, au point d’origine).

Dernière précision : la fonction n'est pas forcément dérivable pour toute valeur de a. Si elle n'est pas définie, l'affaire est réglée. Il n'y a pas de tangente. D'autres cas particuliers existent (voir en fin de page).

Exercices

Deux types d'exercices vous sont habituellement proposés : trouver l'équation d'une tangente au point d'abscisse x0 à partir d'un graphe ou de l'expression d'une fonction. Voici les étapes que vous devrez suivre.

2 types d'exercices

Note : la procédure de droite suppose que vous sachiez dériver une fonction, ce qui n'est pas toujours le cas au moment où vous découvrez ce qu'est une tangente (du moins dans les programmes français). Il faut alors directement calculer le nombre dérivé avec le taux de variation.

Exercice 1 : déterminer l'équation de la tangente au point (2 ; 0) sachant qu'elle passe par le point (0 ; -4).

courbe et tangente

Corrigé : le coefficient directeur (nombre dérivé) est (0 + 4) / (2  0) = 2

Utilisons le point (2 ; 0) : 0 = 2 × 2 + b

Donc b = -4 et la tangente a pour équation y = 2x  4

Exercice 2 : soit la fonction f(x) =  + 2 + 1. Déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse -1.

Corrigé : f(-1) = -1 + 2 + 1 = 2

f'(x) = 3 + 4x d'où f'(-1) = 3  4 = -1

y = 2  1(x + 1)

y = -x + 1

Voir aussi l'exercice de la page fonction inverse.

Complément (ce qui suit n'est pas au programme de première)

Et au fait, pourquoi nomme-t-on ainsi une TANGENTE ?

À moins d’être horizontale, une tangente forme un angle avec l’axe des abscisses. À partir du cercle trigonométrique, on lit la valeur de cet angle sur la droite de tangence qui frôle le cercle au point de contact (1 ; 0). Prenons par exemple un angle de 45°. Dans un plan muni d'un repère orthonormé, il correspond à un coefficient directeur de 1. En radian, cet angle a pour valeur π / 4. Appliquons la fonction tangente à cette valeur : tan (π / 4) = 1.

Demi-tangente

On observe éventuellement des demi-tangentes, par exemple aux bornes d’un domaine de définition ou sur un point anguleux. Le graphe ci-dessous représente la fonction (x – 2)2/3 + 2 (réalisation Geogebra).

point anguleux

Normale : la normale d’une courbe en un point est la droite perpendiculaire à la tangente. Sa pente est égale à (-/ a).

 

tangente

 

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