Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les inéquations

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Inégalités et tableaux de signes

Indispensables inéquations. Leur principe est enseigné au collège, du moins lorsqu’elles sont du premier degré. Le second degré fait son entrée en seconde. Une progression brièvement résumée ici. Ensuite, la folle aventure des inéquations se poursuit mais pas ici (n’ayez aucune inquiétude, vous les retrouverez rapidement).

Notations et définitions

Inférieur à (plus petit que) : <
Supérieur à (plus grand que) : >
Inférieur ou égal à : ≤
Supérieur ou égal à : ≥

Les deux premiers symboles indiquent des inégalités strictes et les deux suivants des inégalités larges.

a  b signifie que a est au maximum égal à b tandis que si a < b, il ne peut lui être égal.

Ainsi, x > 0 veut dire que x est strictement positif et x < 0 qu’il est strictement négatif. En revanche, x ≥ 0 signifie que x est positif et x ≤ 0 qu’il est négatif, c’est-à-dire qu’il peut éventuellement être égal à 0, nombre à la fois positif et négatif.

L’échelle des nombres permet de visualiser les différents cas. Ci-dessous les inégalités larges sont illustrées de deux façons. Les intervalles correspondants aux solutions figurent en rouge.

échelles des nombres

Résolution : le premier degré

Une inégalité compare deux expressions, le premier membre (à gauche) et le second (à droite). Le principe est le même que celui des équations. Il faut juste changer le sens de l’inégalité à la fin des calculs si le coefficient de l’inconnue est négatif.

Étapes

Exemple 1 de résolution : 5x – 7 > 2(x – 5)

1- Si nécessaire, on simplifie les deux membres (développement puis réduction)

5x – 7 > 2x – 10

2-On ajoute ou on soustrait le même nombre à chaque membre de l’inégalité

5x – 2x > -10 + 7
3x > -3

3- Si le coefficient de x est positif, on multiplie ou on divise les deux membres de l’inégalité par un même nombre positif

x > -1

4- Solutions (intervalle ouvert si inégalité stricte, semi ouvert si inégalité large)

S = ]-1 ; +[

 

Exemple 2 de résolution : -8x + 1 > 2x + 21

Si le coefficient de x est négatif, on multiplie ou on divise les deux membres de l’inégalité par un même nombre négatif, ce qui change le sens de l’inégalité

-10x > 20
-x > 2
x < -2

Solutions

S = ]- ; -2[

Résolution : le second degré

Rappel préalable : le signe de l’expression du premier degré ax + b (a ≠ 0) se détermine ainsi :

signe

Au milieu du tableau se trouve un zéro ; si x = -b / a, il est évident que l’expression est nulle.

Soit une inéquation dont un membre est du second degré et factorisable. L'autre membre a été ramené à zéro.

second degré

Note : il s’agit là d’une procédure complète ; un énoncé peut aussi vous faire commencer aux étapes 2 ou 3.

Exemple. Résoudre sur R : (x + 1)² > (2x – 3)²

Transposition du même côté : (x + 1)² – (2x – 3)² > 0

Factorisation (en l’occurrence, on remarque une identité remarquable.

[(x + 1) + (2x – 3)][(x + 1) – (2x – 3)] > 0
(x + 1 + 2x – 3)(x + 1 – 2x + 3) > 0
(3x – 2)(-x + 4) > 0

On cherche donc l’intervalle pour lequel cette expression est strictement positive.

Étude du signe de chacun des deux facteurs :

signes

Construction du tableau de signes : une ligne pour chaque facteur. Chacune représente l’échelle des nombres sur l’ensemble de définition. Seules apparaissent les valeurs qui séparent les intervalles où l’expression est positive de ceux où elle est négative. Lorsque celle-ci est nulle (ce qui correspond aux barres de séparation), on note un zéro. Partout ailleurs, ce sont les signes qui sont indiqués. Pour la clarté du tableau et une construction facile de la ligne résultat, un même signe peut apparaître plusieurs fois d’affilée :

tableau de signes

S = ]⅔ ; 4[

Lorsqu'un membre de l’inéquation est un quotient (avec une expression en x au dénominateur), le principe est le même mais attention, il existe une ou des valeurs interdites à indiquer par une double barre dans le tableau de signes. Voir l'exemple d'inéquation quotient.

 

inégalité

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés