Inéquations et tableaux de signes
Indispensables inéquations. Leur principe est enseigné au collège, du moins lorsqu’elles sont du premier degré. Le second degré fait son entrée en seconde mais seulement dans certaines configurations. Une progression brièvement résumée ici. Ensuite, la folle aventure des inéquations se poursuit mais pas ici (n’ayez aucune inquiétude, vous les retrouverez rapidement).
Notations et définitions
Inférieur à (plus petit que) : \(<\)
Supérieur à (plus grand que) : \(>\)
Inférieur ou égal à : \(\leqslant\)
Supérieur ou égal à : \(\geqslant\)
Les deux premiers symboles, utilisés depuis le début du dix-septième siècle par l'anglais Thomas Harriot, indiquent des inégalités strictes et les deux suivants des inégalités larges.
\(a \leqslant b\) signifie que \(a\) est au maximum égal à \(b\) tandis que si \(a < b,\) il ne peut lui être égal.
Ainsi, \(x > 0\) veut dire que \(x\) est strictement positif et \(x < 0\) qu’il est strictement négatif. En revanche, \(x \geqslant 0\) signifie que \(x\) est positif et \(x \leqslant 0\) qu’il est négatif, c’est-à-dire qu’il peut éventuellement être égal à 0, nombre à la fois positif et négatif.
L’échelle des nombres permet de visualiser les différents cas. Ci-dessous les inégalités larges sont illustrées de deux façons. Les intervalles correspondants aux solutions figurent en rouge.
Résolution : le premier degré
Une inégalité compare deux expressions, le premier membre (à gauche) et le second (à droite). Le principe est le même que celui des équations. Il faut juste changer le sens de l’inégalité à la fin des calculs si le coefficient de l’inconnue est négatif.
| Étapes | Ex. 1 : \(5x - 7 > 2(x - 5)\) |
1- Si nécessaire, on simplifie les deux membres (développement puis réduction) |
\(⇔ 5x - 7 > 2x - 10\) |
2- On ajoute ou on soustrait le même nombre à chaque membre de l’inégalité |
\(⇔ 5x - 2x > -10 + 7\) |
3- Si le coefficient de \(x\) est positif, on multiplie ou on divise les deux membres de l’inégalité par un même nombre positif |
\(⇔ x > -1\) |
4- Solutions (intervalle ouvert si inégalité stricte, semi ouvert si inégalité large) |
\(S = ]-1\,; +\infty[\) |
| Ex. 2 : \(-8x + 1 > 2x + 21\) | |
Si le coefficient de \(x\) est négatif, on multiplie ou on divise les deux membres de l’inégalité par un même nombre négatif, ce qui change le sens de l’inégalité |
\(⇔ -10x > 20\) |
Solutions |
\(S = ]-\infty \,; -2[\) |
Résolution : le second degré
Note : si vous êtes en première générale, la page sur les inéquations du second degré est davantage adaptée à vos attentes.
Rappel préalable : le signe de l’expression du premier degré \(ax + b\) avec \(a \ne 0\) se détermine ainsi :
Au milieu du tableau se trouve un zéro ; si \(x = - \frac{b}{a},\) il est évident que l’expression est nulle.
Soit une inéquation dont un membre est du second degré et factorisable. L'autre membre a été ramené à zéro.
| Étapes |
| 1- On place tous les termes du même côté |
| 2- On factorise |
| 3- On étudie le signe de chaque facteur séparément |
| 4- On synthétise les résultats dans un tableau de signes. La dernière ligne est réalisée avec la règle des signes. |
| 5- On lit les solutions dans la dernière ligne du tableau et on conclut |
Note : il s’agit là d’une procédure complète ; un énoncé peut aussi vous faire commencer aux étapes 2 ou 3.
Exemple. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
\((x + 1)^2 > (2x - 3)^2\)
Transposition du même côté :
\((x + 1)^2 - (2x - 3)^2 > 0\)
Factorisation (en l’occurrence, on remarque une identité remarquable.
\(⇔ [(x + 1) + (2x - 3)]\)\([(x + 1) - (2x - 3)]\) \(>\) \(0\)
\(⇔ (x + 1 + 2x - 3)\)\((x + 1 - 2x + 3)\) \(>\) \(0\)
\(⇔ (3x - 2)(-x + 4)\) \(>\) \(0\)
On cherche donc l’intervalle pour lequel cette expression est strictement positive.
Étude du signe de chacun des deux facteurs :
Construction du tableau de signes : une ligne pour chaque facteur. Chacune représente l’échelle des nombres sur l’ensemble de définition. Seules apparaissent les valeurs qui séparent les intervalles où l’expression est positive de ceux où elle est négative. Lorsque celle-ci est nulle (ce qui correspond aux barres de séparation), on note un zéro. Partout ailleurs, ce sont les signes qui sont indiqués. Pour la clarté du tableau et une construction facile de la ligne résultat, un même signe peut apparaître plusieurs fois d’affilée :
\(S = ]\frac{2}{3}\,; 4[\)
Lorsqu'un membre de l’inéquation est un quotient (avec une expression en \(x\) au dénominateur), le principe est le même mais attention, il existe une ou des valeurs interdites à indiquer par une double barre dans le tableau de signes. Voir l'exemple d'inéquation quotient.
