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(et fondements mathématiques)

Les primitives

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Primitives des fonctions d'une variable

Pour beaucoup, les primitives renvoient à un casse-tête, une torture pour cerveaux déjà surmenés qui se trouvent contraints de « dériver à l’envers ». Il est vrai que, sauf à disposer d’un logiciel capable de trouver une primitive (voir plus bas les prouesses de Maxima), l’opération est un peu fastidieuse, à moins bien sûr d’aimer ce type de sport cérébral.

NB : si vous êtes en terminale, la page d'introduction aux primitives devrait davantage être adaptée à vos attentes que le rappel qui va suivre...

La primitivation est le pilier du calcul intégral. En économie, ce type de calcul est à maîtriser mais il n'est pas central... En statistiques, on sait qu’une primitive de fonction de densité est la fonction de répartition. La notion de primitive est cette fois-ci fondamentale mais, dans la mesure où l'on utlise dans l'immense majorité des situations des lois bien connues (normale, log-normale, etc.), il n'est pas indispensable de recalculer ces primitives dont les formules sont déjà présentes dans les programmes des logiciels.

Pour autant, une petite révision peut-elle se révéler néfaste ? Non. Alors par ici la visite.

La primitivation est l'opération inverse de la dérivation. Du coup, la dérivée d’une primitive (notée F) d'une fonction f est la fonction f elle-même. F’(x) = f(x).

On parle souvent d’UNE primitive car chaque fonction en possède une infinité : dans la mesure où la dérivée d'une constante est nulle, l’expression f(x) = 2x peut avoir pour primitive aussi bien x² que x² + 1, x² + 200 ou x² + ln 5. Bref, il est important de préciser dans l’expression d'une primitive quelconque « + c », c ∈ R, indiquant par là que l’on peut ajouter n’importe quelle constante réelle, sauf si des indications permettent de préciser la valeur de cette dernière (ou une fourchette de valeurs).

L'ensemble des primitives d'une fonction, c'est-à-dire avec toutes les constantes qu'elles peuvent admettre, est nommé l'intégrale indéfinie de cette fonction. On le note avec l'intégrateur en forme de S mais sans indiquer de bornes.

On ne cherche une primitive que dans un intervalle sur lequel la fonction est continue.

Les primitives usuelles vous convient à leur grande parade (voir les domaines de définition sur les pages consacrées à ces fonctions) :

primitives

NB : voir aussi la page formules de dérivation...

Exemple. Il s’agit de déterminer une primitive de la fonction continue f définie comme suit :

exemple de fonction

Tout l’art consiste à faire apparaître une forme connue de dérivée. En l’occurrence, si l’on pose f(x) = ½ × (2x / x² + 1), on obtient une forme ½ × u’ / u avec u = x² + 1. C’est bien sûr le modèle de dérivée d’une fonction logarithme que nous avons extraite de sa gangue. Donc, F(x) = ½ × ln (x² + 1).

Avec le logiciel gratuit Maxima, on utilise le menu « calculs » puis « intégrer » (sans cocher Intégration définie) :

sortie de Maxima (1)

Autre exemple, avec une valeur donnée (ce qui permet de déterminer la constante) :

Soit une fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 4x³ + (1 / x²) + 1.

sortie Maxima (2)

Si l’on sait, par exemple, que F(1) = 1, on voit bien qu’il n’y a pas de constante : (1 + 1 – 1) = 1. Si l’on pose F(1) = 2, alors F(x) = x⁴ + x – (1 / x) +1.

Et encore un exemple...

Quelle serait une primitive quelconque de tan x ?

La tangente est le sinus divisé par le cosinus. Sa forme est donc -u' / u.

Donc, primitive = -ln |cos x| + c

De même, une primitive quelconque de la fonction cotangente est ln |sin x| + c.

 

primitive

 

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