Un exercice sur la fonction inverse

Fonction inverse et tangentes

Voici un exercice classique sur la fonction inverse et sur les tangentes, de niveau première S. Classique car il illustre des propriétés intéressantes. L’exercice est entièrement paramétré, c’est-à-dire que nous utiliserons un paramètre a pouvant représenter n’importe quel réel non nul. Après avoir réalisé cet exercice, nous vous invitons à remplacer a par une valeur de votre choix puis à tracer la courbe représentative et les droites avec un logiciel ou sur calculatrice afin de visualiser les propriétés ainsi découvertes.

Énoncé

Soit f la fonction inverse, définie sur R*.

1/x

Soit C sa courbe représentative et Ta la tangente à C au point A d’abscisse a (a ≠ 0).

  1. Déterminer l’équation de Ta.
  2. Déterminer les coordonnées du point P, intersection de Ta avec l’axe des abscisses.
  3. Déterminer les coordonnées du point Q, intersection de Ta avec l’axe des ordonnées.
  4. Démontrer que le point A est le milieu du segment PQ.
  5. Soit (D) la droite d’équation y = x. Donner les coordonnées du point B, intersection de (D) et de Ta.
  6. Déterminer l’équation de la tangente T’a au point d’abscisse 1 / a.
  7. Montrer que (D), Ta et T’a sont concourantes.

Corrigé

1- L’équation d’une tangente à un point d’abscisse a est y = f’(a)(x – a) + f(a).

Nous avons bien sûr :

f(a) = 1/a

Quant au nombre dérivé en a :

f'(a) = -1/a²

Donc :

y = ...

développement

y = -x/a² + 2/a

2- Pour trouver l’abscisse de P, on résout l’équation :

abscisse

x/a² = 2/a

produit en croix

D’où x = 2a et par conséquent P(2a ; 0).

3- Il suffit de remplacer x par zéro pour obtenir l’ordonnée de Q. Donc Q(0 ; 2 / a).

4- Rappel de la formule du milieu de PQ :

milieu

Abscisse :

abscisse = a

Ordonnée :

1/a

Nous obtenons bien les coordonnées de P(a ; 1 / a).

5- Au point d’intersection, les expressions des deux droites sont égales.

égalité

étape 2

étape 3

étape 4

étape 5

x = 2a / (a²+1)

Comme B est sur la droite d’équation y = x, ses coordonnées sont :

B

6- Nous avons f(1 / a) = a. Quant au nombre dérivé…

-a²

Donc :

y = ...

Soit, après simplification, y = -a²x + 2a.

7- Ces trois droites sont concourantes, c’est-à-dire sécantes en même point, si le point B appartient à T’a. Remplaçons y dans l’expression de T’a par l’ordonnée de B.

remplacement

étape 2

étape 3

étape suivante

absc = ordonnée

C’est bien l’ordonnée du point B. Les trois droites sont concourantes en B.