Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La dérivabilité

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Initiation à la dérivabilité en un point

Avertissement : cette page ne fait qu’introduire la notion de dérivabilité. Elle est destinée aux élèves de première S et n’utilise donc pas les notions rigoureuses acquises en terminale et surtout dans l’enseignement supérieur.

La dérivabilité s’apprécie soit en un point, soit sur un intervalle.

Une fonction est dérivable en un point si elle admet une dérivée finie en ce point. C’est ce que nous illustrerons ici. Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. L'ensemble des points sur lesquels une fonction est dérivable est son domaine de dérivabilité.

En classe de première, la dérivabilité sur un intervalle est toujours précisée dans l’énoncé des exercices. Généralement, une fonction est dérivable sur son ensemble de définition mais nous allons voir qu’il y a des exceptions. C’est pourquoi il faut savoir démontrer la dérivabilité d’une fonction en un point donné.

Lorsqu’une fonction n’est pas définie pour une valeur, le nombre dérivé n’existe pas et l’affaire est pliée : il est évident que la fonction inverse n’est pas dérivable en 0 puisqu’elle n’y est pas définie. Là où ça se complique, c’est lorsque la fonction est définie en un point mais qu’elle n’y est pas dérivable. En pratique, c’est surtout la fonction valeur absolue qui s’amuse à vous jouer ce genre de tour.

Une autre exception parmi les fonctions usuelles est la fonction racine carrée qui n’est pas dérivable en 0 bien qu’elle y soit définie.

Graphiquement, si la fonction est définie mais non dérivable en un point, on observe un point anguleux, c’est-à-dire que le tracé de la courbe est « cassé ». Pourquoi ? Parce que la tangente à gauche du point n’est pas la même qu’à droite.

Rappelons la définition du nombre dérivé :

dérivée en un point

Comment utiliser cette définition ? Prenons un exemple.

Exemple

Soit la fonction f définie sur R :

f

Montrons qu’elle n’est pas dérivable en x = 2 puis vérifions-le graphiquement.

Nous avons…

1ère étape

Développons l’identité remarquable.

étape 2

Pour simplifier cette expression, il faut envisager deux cas, selon que (h² + 4h) est positif ou négatif. Si l’on factorise l’expression en h(h + 4) et que l’on en déduise le tableau de signes, il apparaît que l’expression est négative pour h compris entre -4 et 0, positive ailleurs. Ne nous préoccupons pas du cas où h est inférieur à -4 car il doit être proche de 0 (Cf. page nombre dérivé).

Si h > 0 :

f'(2)

Si -4 < h < 0, alors | + 4h| = -( + 4h). Donc :

si < 0

f'(2)

La limite lorsque h tend vers 0 ne peut pas être égale à la fois à -4 et à 4. Elle n’existe donc pas et f n’est hélas pas dérivable en 2.

Ci-dessous, la courbe représentative de f a été tracée avec GeoGebra, ainsi que les demi-tangentes à gauche et droite du point d’abscisse 2.

Cf et tangentes

Exercice

Soit la fonction f définie sur R* :

f

Montrer qu’elle est dérivable pour x = 2

Corrigé

Déterminons le nombre dérivé en 2 :

nombre dérivé

étape 2

étape 3

étape 4

Le nombre dérivé existe. f est dérivable pour x = 2.

 

dérivable

 

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