La dérivabilité

Initiation à la dérivabilité en un point

Avertissement : cette page ne fait qu’introduire la notion de dérivabilité. Elle est destinée aux élèves de première générale et n’utilise donc pas les notions rigoureuses acquises en terminale et surtout dans l’enseignement supérieur.

 

Dérivabilité

La dérivabilité s’apprécie soit en un point, soit sur un intervalle.

Une fonction est dérivable en un point si elle admet une dérivée finie en ce point. C’est ce que nous illustrerons ici. Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle. L'ensemble des points sur lesquels une fonction est dérivable est son ensemble de dérivabilité.

En classe de première, la dérivabilité sur un intervalle est toujours précisée dans l’énoncé des exercices. Généralement, une fonction est dérivable sur son ensemble de définition mais nous allons voir qu’il y a des exceptions. C’est pourquoi il faut savoir démontrer la dérivabilité d’une fonction en un point donné.

Lorsqu’une fonction n’est pas définie pour une valeur, le nombre dérivé n’existe pas et l’affaire est pliée : il est évident que la fonction inverse n’est pas dérivable en 0 puisqu’elle n’y est pas définie. Là où ça se complique, c’est lorsque la fonction est définie en un point mais qu’elle n’y est pas dérivable.

En pratique, vous rencontrerez deux fonctions qui s'amusent à vous jouer ce genre de tour, la fonction valeur absolue et la fonction racine carrée (dont la démonstration de non-dérivabilité en 0 figure au programme de première générale et fait l'objet de l'exercice 2 ci-dessous).

Graphiquement, si la fonction est définie mais non dérivable en un point, on observe un point anguleux, c’est-à-dire que le tracé de la courbe est « cassé ». Pourquoi ? Parce que la tangente à gauche du point n’est pas la même qu’à droite.

Rappelons la définition du nombre dérivé (par la fonction \(f\) au point d'abscisse \(a\)) : \(f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}\)

Comment utiliser cette définition ? Prenons un exemple.

 

Exemple

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = |x^2 - 4|.\)

Montrons qu’elle n’est pas dérivable en \(x = 2\) puis vérifions-le graphiquement.

Nous avons \(\frac{f(2+h)-f(2)}{h}\) \(= \frac{|(2 + h)^2 - 4| - 0}{h}\)

Développons l’identité remarquable.

\(\frac{|4 + 4h + h^2 - 4|}{h}\) \(=\frac{|h^2 + 4h|}{h}\)

Pour simplifier cette expression, il faut envisager deux cas, selon que \(h^2 + 4h\) est positif ou négatif. Si l’on factorise l’expression en \(h(h + 4)\) et que l’on en déduise le tableau de signes, il apparaît que l’expression est négative pour \(h\) compris sur \([-4\,;0],\) positive ailleurs. Ne nous préoccupons pas du cas où \(h\) est inférieur à -4 car il doit être proche de 0 (Cf. page nombre dérivé).

Si \(h > 0\) : \(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (h + 4) = 4\)

Si \(-4 < h < 0,\) alors \(|h^2 + 4h|\) \(=-(h^2 + 4h).\) Donc \(\frac{|h^2 + 4h|}{h}\) \(= -h-4.\)

\(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (-h - 4) = -4\)

La limite lorsque \(h\) tend vers 0 ne peut pas être égale à la fois à -4 et à 4. Elle n’existe donc pas et \(f\) n’est hélas pas dérivable en 2.

Ci-dessous, la courbe représentative de \(f\) a été tracée avec GeoGebra, ainsi que les demi-tangentes à gauche et droite du point d’abscisse 2.

Cf et tangentes

 

Exercice 1

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = \frac{2}{x}\)

Montrer qu’elle est dérivable pour \(x = 2.\)

 

Corrigé

Déterminons le nombre dérivé en 2 :

\[f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h}\]

\[\Leftrightarrow f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{2}{{2 + h}} - 1}}{h}\]

\[\Leftrightarrow f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{2 - 2 - h}}{{2 + h}}}}{h}\]

\[\Leftrightarrow f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} - \frac{1}{{2 + h}} = - \frac{1}{2}\]

Le nombre dérivé existe, \(f\) est dérivable pour \(x = 2.\)

 

Exercice 2

Démontrer que la fonction racine carrée, définie sur \([0\,;+\infty[\) n'est pas dérivable en 0.

 

Corrigé

Déterminons le taux d'accroissement.

\(\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\) \(= \frac{\sqrt{x} - \sqrt{0}}{x}\) \(=\frac{\sqrt{x}}{x}\)

Il est équivalent d'écrire \(\frac{\sqrt{x}}{x}\) ou \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) (on divise le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{x}\)).

Quelle est la limite de \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) lorsque \(x\) tend vers 0 ? Il n'y en a pas, ou plutôt elle est infinie (l'inverse d'un nombre infiniment petit est infiniment grand).

Donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

 

dérivable