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(et fondements mathématiques)

La dérivée d'une fonction polynomiale

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Dérivation d'une fonction polynomiale au bac STMG

Note préalable : cette page a été rédigée pour les élèves de terminale STMG mais elle entre tout à fait dans les programmes des premières ES et S.

Si vous savez dériver une fonction de degré 2 et une fonction de degré 3, vous avez certainement une idée pour dériver n’importe quelle fonction polynomiale.

Trois règles sont à connaître.

La première, c’est que si l’on dérive xn, on obtient nxn-1.

La deuxième est qu’une fonction de configuration f(x) = u(x) + v(x) a une dérivée d’équation f’(x)u’(x) + v’(x).

La troisième règle est que si l’on multiplie une fonction par un réel k, c’est-à-dire si une fonction se présente sous forme f(x) = ku(x), alors sa dérivée est f’(x) = ku’(x).

Et voilà. Avec ça, rien ne peut entraver votre passion de dériver les fonctions polynomiales.

Prenons un exemple.

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x4 + 3x3 + 0,5 + 2x – 1

Comme la deuxième règle nous le permet, nous pouvons dériver les termes les uns après les autres.

Reprenons la première règle pour dériver x4. C’est bien sûr 4x3.

Pour dériver 3x3, nous utilisons la première règle mais aussi la troisième. La dérivée est 3 × 3, donc 9.

Et ainsi de suite (abrégeons, vous êtes à présent en mesure de terminer).

Par conséquent, f’(x) = 4x3 + 9 + x + 2

Remarque : on PERD UN DEGRÉ. Si par exemple une fonction est de degré 5, sa dérivée est de degré 4.

Lorsqu'on a déterminé le signe d'une dérivée, on en déduit le sens de variation de la fonction.

Si sur un intervalle la dérivée est positive alors la fonction est croissante sur cet intervalle et si elle est négative la fonction est décroissante (voir la page sur le lien entre signe de dérivée et sens de fonction).

Vous voici fin prêt pour affronter les épreuves les plus redoutables du bac STMG. En voici un extrait (Pondichéry avril 2014). Sachez que la page exercice sur fonctions de degré 2 reprend elle aussi un extrait de bac STMG.

Exercice

On considère la fonction g définie sur [-3 ; 2] par g(x) = (x – 1)² (x + 3)

a. Vérifier que g(x) = x3 + x² – 5x + 3

b. Calculer g’(x), g’ étant la dérivée de la fonction g.

c. Résoudre l’équation 3x² + 2x – 5 = 0

Étudier le signe de g’ sur l’intervalle [-3 ; 2]. En déduire le tableau de variation de la fonction g.

Corrigé commenté

a. Développons l’expression.

g(x) = (x – 1)² (x + 3)

Occupons-nous d’abord de développer l’identité remarquable.

g(x) = ( – 2x + 1) (x + 3)

Distribuons.

g(x) = x3 + 3 – 2 – 6x + x + 3
g(x) = x3 +  – 5x + 3

b. Il est plus rapide de dériver la forme développée que la forme factorisée (cette dernière ne figure d’ailleurs pas au programme du bac STMG).

g’(x) = 3 + 2x – 5

c. Remarquez que la réponse à la question précédente apparaît dans le premier membre de l’équation.

Résolvons 3 + 2x – 5 = 0

Nous devons d’abord calculer le discriminant. Pour une expression de type ax² + bxc, il est égal à b² – 4ac.

En l’occurrence, Δ = 2² – 4 × 3 × (-5) = 64.

Δ > 0, le polynôme admet donc deux racines.

x' = -5/3

x" = 1

Le signe de g’ revient à étudier le signe de ce polynôme du second degré ; g’ est du signe de a (donc positif) à l’extérieur des racines et du signe contraire de a (donc négatif) à l’intérieur des racines.

Par conséquent, g est croissante sur l’intervalle [-3 ; -5 / 3], décroissante sur [-5 / 3 ; 1] puis à nouveau croissante sur [1 ; 2].

Quatre images de x doivent figurer dans le tableau de variation.

g(-3) = (-4)² × 0 = 0

g(-5 / 3) = [(-5 / 3) – 1]² [(-5 / 3) + 3]
g(-5 / 3) = [(-5 / 3) – (3 / 3)]² [(-5 / 3) + (9 / 3)]
g(-5 / 3) = (-8 / 3)² (4 / 3)
g(-5 / 3) = (64 / 9)(4 / 3)
g(-5 / 3) = 256 / 27

g(1) = (1 – 1)² (1 + 3) = 0

g(2) = (2 – 1)² (2 + 3)
g(2) = 5

Ce qui nous conduit à dresser le tableau suivant (réalisation avec Sine qua non) :

tableau de variation

 

froid

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés