Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les formules de dérivation

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Opérations sur fonctions dérivables

Au dix-septième siècle, des scientifiques et des aventuriers européens  s'ingénièrent à découvrir et à inventer bon nombre de choses qui allaient modifier la vie quotidienne de la plupart des Terriens, souvent indirectement et à plus ou moins longue échéance, depuis le microscope jusqu'au cap Horn en passant par la machine à calculer et la dérivation.

La dérivation, justement. Comment trouver la meilleure approximation affine d’une fonction pour une valeur donnée ? Réponse : en se rendant sur la page nombre dérivé et en appliquant les recettes qui y sont prodiguées. Oui mais voilà, la technique employée n’est pas des plus pratiques et il est souvent plus simple de dériver la fonction en entier puis de remplacer la variable x par le réel qui nous intéresse, en réservant nos calculs à la détermination des bornes de l'ensemble de définition et à la dérivabilité.

Certes, on a pu établir un certain nombre de dérivées « usuelles », c’est-à-dire de fonctions de référence. Mais généralement, ce ne sont pas elles qui doivent être dérivées mais des composées de celles-ci…

Par quelle technique ? Soit on se sert de la formule générale de dérivée de fonction composée (ci-dessous), soit on utilise directement les formules qui suivent et qui correspondent chacune à une structure algébrique différente de fonction. NB : si vous êtes élève en classe de première ES ou S, il vaut mieux bifurquer en page initiation à la dérivation plutôt que vous effrayer avec la suite de cette page.

Dérivée d’une fonction composée

Soit u et g deux fonctions numériques telles que f = g o u sur un intervalle de dérivabilité. Nous avons :

dérivée d'une composée

Voir par exemple la démonstration du cas particulier g(x) = f(ax + b).

Formules pour les fonctions dérivables

Ci-dessous, les lettres u et v remplacent des expressions numériques. Il faudrait en toute rigueur les écrire u(x) et v(x) mais comme les formules restent valides même si u et v sont des constantes indépendantes de x, inutile de crier au crime de lèse-mathématiques. Les lettres a et b représentent des réels.

Pour retrouver ces formules, on part du tableau des fonctions usuelles et on remplace x par u et v qu’on multiplie par u’ et v’. Comme l’exercice n’est pas très difficile, je n’ai pas indiqué TOUTES les formes de fonctions (hyperboliques, trigonométriques réciproques…).

Des primitives peuvent être trouvées en lisant les tableaux de droite à gauche.

NB : voir les pages consacrées à ces fonctions pour les conditions de dérivabilité. La version u / v la plus simple est présentée en page fonction homographique.

dérivées 1

Exemples en pages dérivée d'une fonction du second degré, de degré 3, polynomiale, d'un produit de fonctions, d'un quotient de fonctions...

Les fonctions avec logarithmes et exponentielles présentent les dérivées suivantes (la première, c'est-à-dire la dérivée logarithmique, est particulièrement utilisée en économie) :

dérivées ln, exp

Voir aussi la page exercices avec logarithmes et exponentielles.

Les fonctions trigonométriques :

dérivées trigo

Voir des exemples en page dérivées de fonctions trigonométriques et exercices avec la fonction sinus.

Enfin, la formule de dérivée d’une fonction réciproque :

réciproque

Ces formules de « base » ne sont pas spécialement difficiles à appliquer. Toutefois, il n’est pas rare que plusieurs structures s’imbriquent (voir page étude de fonction).

Exercice 1 (niveau terminale S)

Retrouver la dérivée de fonction tangente en utilisant sa définition, sur R \ {π / 2 + kπ} (k ∈ Z)

tan x = sin x / cos x. Donc, la fonction tangente s’écrit sous une forme u / v.

Soit = sin x, u’ = cos x, v = cos x et v’ = -sin x

Appliquons la formule (u’v – v’u/ v², donc, si l'on nomme f la fonction tangente :

dérivée tan

Il reste à simplifier cette expression peu pratique. Comme cos² x + sin² x = 1, on a :

simplification

Il est aussi possible de séparer la fraction en deux puis de simplifier :

dérivée tan

Exercice 2

Dériver f(x) = (2x – 3)³

f s’écrit sous la forme uⁿ et sa dérivée est u’nu(n-1). Donc f’(x) = 6(2x – 3)².

 

maître des dérivées

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés