Notions sur l'orthogonalité dans l'espace
Découvrons la notion d’orthogonalité dans l’espace, telle qu’elle peut être enseignée en terminale générale sans faire référence au produit scalaire (toujours dans l'espace puisque dans le plan, cela a été vu en première générale, voir l'orthogonalité dans le plan).
Étymologiquement, orthogonal signifie angle droit. Mais l’angle droit n’est-il pas déjà défini par la notion de perpendicularité ? Pas forcément, voyons quelle est la différence.
Orthogonalité de droites
Deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont orthogonales si elles ont des parallèles perpendiculaires. C’est dans l’espace que cette notion trouve tout son intérêt.
Soit un terrain de rugby. La ligne de touche est perpendiculaire à la ligne de but mais pas à la barre horizontale qui se trouve trois mètres au-dessus : les droites qu’elles forment n’ont aucun point en commun. En revanche, la ligne de touche et la barre horizontale sont orthogonales.
Le symbole de l’orthogonalité est celui de la perpendicularité : \((d_1) \perp (d_2)\)
Propriété : si deux droites sont parallèles, une droite perpendiculaire à l’une l’est aussi à l’autre. Attention, l’inverse n’est pas vrai : deux droites perpendiculaires à une troisième ne sont pas toujours parallèles entre elles.
D’ailleurs, on voit bien sur le solide hexagonal ci-dessous que les arêtes 1 et 3 sont perpendiculaires à l’arête 2 mais ne sont pas pour autant parallèles entre elles.
Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
En pratique, il suffit de montrer qu’elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan pour prouver qu’elle est orthogonale à tout le plan.
On peut se servir de cette propriété pour prouver que deux droites sont orthogonales. Prenons cet exemple classique :
Soit un pavé \(ABCDEFGH\) et les droites \((AB)\) et \((CG),\) représentés ci-dessous.
Les droites \((AB)\) et \((CG)\) sont-elles orthogonales ? On pourrait penser que non mais elles le sont.
En effet, \((AB)\) et \((BG)\) sont perpendiculaires, de même que \((AB)\) et \((BC).\) Ainsi la droite \((AB)\) est orthogonale à deux droites sécantes du plan BCFG et donc à tout le plan. Comme la droite \((CG)\) appartient à ce plan, \((AB)\) et \((CG)\) sont bien orthogonales.
Propriétés : si deux droites sont orthogonales à un même plan, elles sont parallèles et, réciproquement, si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une l’est aussi à l’autre. Par ailleurs, si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un l’est aussi à l’autre et réciproquement, si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles.
Vecteur normal à un plan
Un vecteur normal à un plan est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à ce plan.
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si l'un de ses vecteurs directeurs est orthogonal à tous les vecteurs de la direction de ce plan (en pratique, à deux vecteurs non colinéaires du plan).
Ainsi, pour connaître l'équation cartésienne d'un plan, on utilise les coordonnées d'un vecteur qui lui est normal (voir les exercices sur les équations cartésiennes de plans).
Produit scalaire dans l'espace et orthogonalité
Voir les pages produit scalaire dans l'espace, produit scalaire dans l'espace repéré et exercices sur le produit scalaire dans l'espace (niveau terminale générale).
Orthogonalité de deux plans
Deux plans sont orthogonaux si deux vecteurs qui leur sont normaux sont orthogonaux.
Exemple : Soit le plan \(\mathscr{P}_1\) d’équation \(x - 3y + 2z\) \(=\) \(0\) et le plan \(\mathscr{P}_2\) d’équation \(2x + 2y + 2z\) \(=\) \(0.\) Des vecteurs normaux à ces plans sont respectivement :
\[\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 3}\\ 2 \end{array}} \right)\;{\rm{et}}\;\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 2\\ 2 \end{array}} \right)\]
Calculons le produit scalaire.
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\) \(=\) \(1 \times 2 + (-3) \times 2 + 2 \times 2\) \(=\) \(0\)
Les vecteurs sont orthogonaux donc les plans \(\mathscr{P}_1\) et \(\mathscr{P}_2\) sont orthogonaux.
