Dérivation d'une fonction polynomiale de degré 3
Cette page a été rédigée pour les élèves des premières technologiques mais tout élève de première, quelle que soit sa filière, pourra s’entraîner sur l’exercice ci-dessous… C’est la suite logique de la page sur la dérivée d’une fonction du second degré.
D’abord, un rappel de cours (très bref).
À savoir
Une fonction polynomiale de degré 3 s’écrit sous la forme suivante : \(ax^3 + bx^2 + cx + d.\)
Sa dérivée : \(3ax^2 + 2bx + c.\)
C’est fini pour le cours. Nous espérons que ça n’a pas été trop long. Voyons un exemple.
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x^3 + 4x^2 - x + 25.\)
Les coefficients sont \(a = 2,\) \(b = 4,\) \(c = -1\) et \(d = 25.\)
Donc la dérivée est \(f’(x) = (3 × 2)x^2 + (2 × 4)x - 1\) soit \(f’(x) = 6x^2 + 8x - 1.\)
Autre exemple, la dérivée de la fonction cube \(f(x) = x^3\) est \(f’(x) = 3x^2.\)
Notez que la dérivée permettra de réviser la technique du discriminant puisqu'elle est du second degré (question 3 de l’exercice ci-dessous).
Note : vous trouverez sur ce site un autre exercice de dérivation sur fonction de degré 3.
Exercice
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 0,1x^3 + 0,5x^2 - 2x - 1.\)
La courbe \({\mathscr{C}_f}\) représentative de \(f\) figure ci-dessous (réalisation GeoGebra).
La droite rouge représente la tangente \(T\) à \({\mathscr{C}_f}\) au point d’abscisse -6. Elle passe par le point de coordonnées \((-2\,;18,6).\)
1- Déterminer de deux façons \(f’(-6).\)
2- Déterminer l’équation de \(T.\)
3- Existe-il une autre tangente à \({\mathscr{C}_f}\) qui soit parallèle à \(T\) ?
Correction détaillée
1- Nous pouvons trouver \(f’(-6)\) de deux façons : l’une graphique, grâce à la tangente, et l’autre en dérivant \(f.\)
Premièrement, avec la tangente : comme vous le savez, le nombre dérivé d'une valeur \(x_0\) n’est autre que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(x_0.\) Rappel de la formule du coefficient directeur : \(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.\)
Prenons comme point \(A\) celui qui a pour abscisse -6. Nous ne pouvons pas lire son ordonnée de façon très précise sur le graphe mais nous savons que \(T\) passe par \(f(-6).\)
\(f(-6)\) \(= 0,1(-6)^3 + 0,5(-6)^2 - 2(6) - 1\) \(= 7,4.\)
Comme l’énoncé nous indique un autre point par lequel passe la tangente, il fera office de point \(B.\) Donc \(A(-6\,;7,4)\) et \(B(-2\,;18,6).\) Appliquons la formule du coefficient directeur.
\(\frac{18,6 - 7,4}{-2+6}\) \(= \frac{11,2}{4}\) \(= 2,8.\)
Donc \(f’(-6) = 2,8.\)
Deuxièmement, avec la dérivée : en utilisant la formule, nous obtenons \(f’(x)\) \(= 0,3x^2 + x - 2.\)
Donc \(f’(-6)\) \(= 0,3(-6)^2 - 6 - 2\) \(= 2,8\) (victoire !)
2- Rappelons l’équation de la tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y = f(a) + f’(a)(x - a).\)
Ici, \(a = -6.\) Nous avons déjà calculé \(f(-6) = 7,4\) et \(f’(-6) = 2,8.\)
Donc \(y = 7,4 + 2,8(x + 6)\) \(= 2,8x + 24,2.\)
3- Pour savoir si \({\mathscr{C}_f}\) admet une autre tangente parallèle à \(T,\) il faut connaître TOUTES les solutions pour lesquelles \(f’(x) = 2,8.\)
Posons \(0,3x^2 + x - 2\) \(= 2,8.\)
\(⇔ 0,3x^2 + x - 4,8\) \(= 0.\)
Calculons le discriminant \(\Delta\) dont la formule est \(b^2 - 4ac.\) Attention, ce ne sont plus les mêmes \(a,\) \(b\) et \(c\) que ceux de la forme développée de la fonction de degré 3. Ici, \(a = 0,3,\) \(b = 1\) et \(c = -4,8.\)
Donc \(\Delta = 1^2 - (4 × 0,3 × -4,8)\) \(= 6,76.\)
\(x_1\) \(= \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(= \frac{-1 - \sqrt{6,76}}{2 \times 0,3}\) \(= \frac{-1-2,6}{0,6}\) \(= -6\)
C’est la solution que nous connaissions déjà.
\(x_2\) \(= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(= \frac{-1 + \sqrt{6,76}}{2 \times 0,3}\) \(= \frac{-1 + 2,6}{0,6}\) \(= \frac{8}{3}\)
Conclusion : \({\mathscr{C}_f}\) admet également une tangente de coefficient directeur 2,8 au point d’abscisse \(\frac{8}{3}.\)
Si le cœur vous en dit, vous pouvez toujours calculer l’équation de cette seconde tangente et dessiner tout ce joli monde avec GeoGebra…
Pour dériver des fonctions d'un degré supérieur à 3, voir la page dérivées de fonctions polynomiales (niveau terminale STMG).
