La dérivée d'une fonction du troisième degré

Dérivation d'une fonction polynomiale du troisième degré

Cette page a été rédigée pour les élèves de première STMG mais tout élève de première, qu’il soit en filière générale ou technologique, pourra s’entraîner sur l’exercice ci-dessous… C’est la suite logique de la page dérivée d’une fonction du second degré.

D’abord, un cours (très bref).

Une fonction polynomiale de degré 3 s’écrit sous la forme suivante : ax³bx² cx + d

Sa dérivée : 3ax² + 2bx + c

C’est fini pour le cours. J’espère que ça n’a pas été trop long. Voyons un exemple.

Soit la fonction f définie par f(x) = 2 + 4 – x + 25

Les coefficients sont a = 2, b = 4, c = -1, d = 25

Donc la dérivée est f’(x) = (3 × 2) + (2 × 4)x – 1 soit f’(x) = 6 + 8x – 1

Autre exemple, la dérivée de la fonction cube f(x) =  est f’(x) = 3

Notez que la dérivée permettra de revoir la technique du discriminant puisqu'elle est du second degré (question 3 de l’exercice ci-dessous).

Exercice

Soit la fonction f définie par f(x) = 0,1 + 0,5 – 2x – 1

La courbe Cf représentative de f figure ci-dessous (réalisation GeoGebra).

exercice

La droite rouge représente la tangente T à Cf au point d’abscisse -6. Elle passe par le point (-2 ; 18,6).

1- Déterminer de deux façons f’(-6)

2- Déterminer l’équation de T

3- Existe-il une autre tangente à Cf qui soit parallèle à T ?

Éléments de correction

1- Nous pouvons trouver f’(-6) de deux façons : l’une graphique, grâce à la tangente, et l’autre en dérivant f.

Premièrement, avec la tangente : comme vous le savez, le nombre dérivé d'une valeur x0n’est autre que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x0. Rappel de la formule du coefficient directeur :

coefficient directeur

Prenons comme point A celui qui a pour abscisse -6. Nous ne pouvons pas lire son ordonnée de façon très précise sur le graphe mais nous savons que T passe par f(-6).

f(-6) = 0,1(-6)³ + 0,5(-6)² – 2(6) – 1 = 7,4

Comme l’énoncé nous indique un autre point par lequel passe la tangente, il fera office de point B. Donc A(-6 ; 7,4) et B(-2 ; 18,6). Appliquons la formule du coefficient directeur.

f'(-6)

Donc f’(-6) = 2,8

Deuxièmement, avec la dérivée : en utilisant la formule, nous obtenons f’(x) = 0,3 + x – 2

Donc f’(-6) = 0,3(-6)² – 6 – 2 = 2,8 (victoire !)

2- Rappelons l’équation de la tangente au point d’abscisse a : y = f(a)f’(a) (x – a)

Ici, a = -6. Nous avons déjà calculé f(-6) = 7,4 et f’(-6) = 2,8

Donc y = 7,4 + 2,8(x + 6) = 2,8x + 24,2

3- Pour savoir si Cf admet une autre tangente, il faut connaître TOUTES les solutions pour lesquelles f’(x) = 2,8

Posons 0,3 + x – 2 = 2,8

⇔ 0,3 + x – 4,8 = 0

Calculons le discriminant Δ dont la formule est – 4ac. Attention, ce ne sont plus les mêmes a, b et c de la fonction de degré 3. Ici, a = 0,3, b = 1 et c = -4,8.

Donc Δ = 1² – (4 × 0,3 × -4,8) = 6,76

-6

C’est la solution que nous connaissions déjà.

8/3

Conclusion : Cf admet également une tangente de coefficient directeur 2,8 au point d’abscisse 8 / 3.

Si le cœur vous en dit, vous pouvez toujours calculer l’équation de cette seconde tangente et dessiner tout ce joli monde avec GeoGebra…

2 tangentes

Pour dériver des fonctions d'un degré supérieur à 3, voir la page dérivées de fonctions polynomiales (niveau terminale STMG).

 

4ème degré