Exercice sur fonctions du 2nd degré au bac STMG
Sur cette page vous trouverez un exercice d’entraînement à la dérivation de fonctions du second degré. Il est issu d’une épreuve du bac STMG (Pondichéry, avril 2015) mais il n’est pas réservé aux élèves des terminales technologiques. En effet, les élèves de première générale peuvent s’exercer dessus sans problème, à l'instar de l'extrait du bac STMG de la page dérivée d'une fonction polynomiale.
Exercice
- On s’intéresse à la trajectoire d’un ballon de basket-ball lancé par un joueur faisant face au panneau. Cette trajectoire est modélisée dans le repère de l’annexe (cette annexe était à rendre avec la copie).
Dans ce repère, l’axe des abscisses correspond à la droite passant par les pieds du joueur et la base du panneau, l’unité sur les deux axes est le mètre. On suppose que la position initiale du ballon se trouve au point \(J\) et que la position du panier se trouve au point \(P.\)
La trajectoire du ballon est assimilée à la courbe \(\mathscr{C}\) représentant une fonction \(f.\)
Les coordonnées du ballon sont donc \((x\,;f(x)).\)
1- Étude graphique
En exploitant la figure de l’annexe, répondre aux questions suivantes :
a. Quelle est la hauteur du ballon lorsque \(x = 0,5\) m ?
b. Le ballon atteint-il la hauteur de 5,5 m ?
2- Étude de la fonction \(f\)
La fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \([0\,;6]\) par \(f(x) = -0,4x^2 + 2,2x + 2.\)
a. Calculer \(f'(x)\) où \(f'\) est la dérivée de la fonction \(f.\)
b. Étudier le signe de \(f(x)\) et en déduire le tableau de variations de \(f\) sur l’intervalle \([0\,;6].\)
c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer ?
3. Modification du lancer
En réalité, le panneau, représenté par le segment \([AB]\) dans la figure de l’annexe, se trouve à une distance de 5,3 m du joueur. Le point \(A\) est à une hauteur de 2,9 m et le point \(B\) est à une hauteur de 3,5 m.
Le joueur décide de modifier son lancer pour tenter de faire rebondir le ballon sur le panneau. Il effectue alors deux lancers successifs.
Dans le premier lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction g définie sur l’intervalle \([0\,;6]\) par \(g(x) = -0,2x^2 + 1,2x + 2.\)
Dans le second lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction h définie sur l’intervalle \([0\,;6]\) par \(h(x) = -0,3x^2 + 1,8x + 2.\)
Pour chacun des deux lancers, déterminer si le ballon rebondit ou non sur le panneau.
Annexe :
Corrigé détaillé
1. a. On lit sur le graphique que lorsque \(x = 0,5\) m la hauteur du ballon est de 3 m (pointillés rouges ci-dessous).
b. En revanche, on voit que le ballon ne monte pas jusqu’à 5,50 m (la courbe ne croise pas la droite d’équation \(y = 5,5\) en vert ci-dessus).
2. a. Déterminons \(f',\) dérivée de \(f.\)
Nous savons que la dérivée de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est \(f'(x) = 2ax +b.\) Donc :
\(f'(x) = -0,4 × 2x + 2,2\)
\(\Leftrightarrow f'(x) = -0,8x + 2,2\)
b. Cherchons sur quel intervalle \(f'\) est positive.
\(-0,8x + 2,2 > 0\)
\(\Leftrightarrow -0,8x > -2,2\)
\(\Leftrightarrow 0,8x < 2,2\)
\(\Leftrightarrow x < \frac{2,2}{0,8}\)
\(\Leftrightarrow x < 2,75\)
Donc pour \(x \in [0\,;2,75[,\) \(f'(x) < 0\) et \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle (voir le lien entre signe de la dérivée et sens de la fonction).
Si \(x = 2,75\) alors \(f'(x) = 0\)
Pour \(x \in ]2,75\,;6],\) \(f'(x) < 0\) et \(f\) est strictement décroissante.
D’où le tableau de variation :
c. \(f(2,75) = 5,025.\) La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 5,025 m.
3. Il faut calculer l’image de 5,3 par \(g\) et par \(h\) afin de savoir si elle se situe entre 2,9 et 3,5
\(g(5,3) = -0,2(5,3)^2 + 1,2 × 5,3 + 2\) \(= 2,742\)
\(h(5,3) = -0,3(5,3)^2 + 1,8 × 5,3 + 2\) \(= 3,113\)
Le premier lancer ne permet pas d’atteindre le panneau tandis que le ballon du second lancer rebondit dessus.
