Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La manipulation des logarithmes et exponentielles

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercices avec logarithmes népériens et exponentielles

Cette page présente quelques exercices en détaillant les corrigés. Leur niveau de difficulté était celui de l'ancien programme ES et ils peuvent aujourd'hui servir d'entraînement en terminale S. Ils illustrent des manipulations d'exponentielles et de logarithmes népériens (on suppose que vous savez résoudre les exercices de la page initiation aux logarithmes).

Exercice 1 (niveau actuel de terminale ES)

Dresser le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = (ln x) / x

L'ensemble de définition est ]0 ; +∞[. La structure de la fonction est de type u / v. Celle de sa dérivée est donc (u’v – v’u/ v². On trouve rapidement f’(x) = (1 – ln x/ . Le signe de f’ est le signe de son numérateur puisque est forcément positif. Donc, entre 0 et e, f’ est positive et elle est négative entre e et l’infini.

Par conséquent, la fonction est croissante sur ]0 ; e[, elle admet un maximum d’abscisse e (qui prend pour valeur e-1) et elle est décroissante sur ]e ; +∞[.

tableau de variation

La courbe représentative de cette fonction figure en page inégalité de la moyenne.

Exercice 2 (calcul de limite d'une fonction)

exemple de limite

Nous sommes en présence d’une forme indéterminée d’infini à la puissance 0. Notez bien que c’est ln x qui est élevé à la puissance 1 / x et non simplement x. On n’a donc pas d’autre choix que de faire intervenir une exponentielle et sa réciproque, c'est-à-dire une fonction logarithme.

transformation

Cette forme est d’ailleurs tout autant indéterminée. Intéressons-nous à l’expression entre crochets. Il est bien évident que, pour tout x > 1, x > ln(ln x) et qui plus est,  si e, ln(ln x) est positif. On a donc un numérateur de plus en plus inférieur au dénominateur au fur et à mesure que x augmente, donc :

limite

Dans la mesure où e0 = 1, comme d’ailleurs n’importe quel nombre élevé à la puissance 0, notre limite tend vers 1.

Exercice 3

Établir le tableau de variation de f(x) = ln(ex + 2e-x).

Cette fonction est définie, continue et dérivable sur R. Le calcul des limites ne pose pas de difficulté en ±∞. C’est chaque fois +∞.

La dérivée sera sous la forme u’ / u. Il vient immédiatement que :

dérivée 1

Mais cette forme n’est pas pratique. Une étude du signe réclame une forme factorisée. On sort e-x du numérateur, étant entendu que ex = e-x e2x. C’est pourquoi :

dérivée 2

Et là, on sait que e-x est positif et idem pour le dénominateur. On n’étudie donc que le signe du numérateur. Si on a e2x – 2 > 0, donc e2x > 2, on fait intervenir les logarithmes pour transformer ceci en 2x > ln 2. On a le choix d’écritures suivant :

choix

Et réciproquement, si le signe de notre dérivée est négatif, c’est que x est inférieur à cette valeur.

Il nous reste un dernier élément du tableau à trouver et c’est le minimum de la fonction.

détail des calculs

tableau de variations

Exercice 4

Voir page exercice sur les surplus.

Exercices de dérivation

Voir les exercices de dérivation avec exponentielles.

 

semi

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés