Je développe sur cette page quelques exercices, en détaillant les corrigés, qui permettent de manipuler les exponentielles et les logarithmes népériens (et qui supposent que vous savez résoudre les exercices de la page initiation aux logarithmes).

Exemple 1 (calcul de limite d'une fonction)

Nous sommes en présence d’une forme indéterminée d’infini à la puissance 0. Notez bien que c’est ln (x) qui est élevé à la puissance 1 / x et non simplement x. On n’a donc pas d’autre choix que de faire intervenir une exponentielle et sa réciproque, une fonction logarithme.

Cette forme est d’ailleurs tout autant indéterminée. Intéressons-nous à l’expression entre crochets. Il est bien évident que, pour tout x > 1, x > ln(ln x) et qui plus est,  si x > e, ln(ln x) est positif. On a donc un numérateur de plus en plus inférieur au dénominateur au fur et à mesure que x augmente, donc :

Dans la mesure où e⁰ = 1, comme d’ailleurs n’importe quel nombre élevé à la puissance 0, notre limite tend vers 1.

Exemple 2 (calcul de dérivée)

La fonction suivante est à dériver pour tout x positif :

C'est une composée de fonction exponentielle et de fonction puissance. Il s’agit de la fonction de répartition de la loi de Weibull. La forme (exp u)’ est égale à u’ exp u. Ici, u' est une dérivée de fonction puissance et je rappelle que (v^α)' = αv'v^α-1, v étant en l'occurrence λx et v' = λ. Donc la fonction de densité qui est la dérivée de la fonction de répartition n’est autre que :

Exemple 3

Établir le tableau de variations de f(x) = ln(e^x + 2e^-x).

Cette fonction est définie, continue et dérivable sur R. Le calcul des limites ne pose pas de difficulté en ±∞. C’est chaque fois +∞.

La dérivée sera sous la forme u’ / u. Il vient immédiatement que :

Mais cette forme n’est pas pratique. Une étude du signe réclame une forme factorisée. On sort e^-x du numérateur, étant entendu que e^x = e^-x e^2x. C’est pourquoi :

Et là, on sait que e^-x est positif et idem pour le dénominateur. On n’étudie donc que le signe du numérateur. Si on a e^2x – 2 > 0, donc e^2x > 2, on fait intervenir les logarithmes pour transformer ceci en 2x > ln 2. On a le choix d’écritures suivant :

Et réciproquement, si le signe de notre dérivée est négatif, c’est que x est inférieur à cette valeur.

Il nous reste un dernier élément du tableau à trouver et c’est le minimum de la fonction.