Une relation trigonométrique

sin² \(\alpha\) + cos² \(\alpha\) = 1

Cette page s’adresse surtout aux élèves de seconde. Elle présente une formule de trigonométrie archi connue dont la démonstration fait partie du programme.

 

Rappel

Les notions à rappeler font l’objet de la page sur la trigonométrie en degrés.

Résumons l’essentiel.

Soit deux droites \((D)\) et \((D')\) non perpendiculaires et sécantes en \(A,\) soit \(B\) un point de \((D)\) et \(C\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((D').\)

Illustration (GeoGebra)

Soit \(\alpha\) l’angle aigu \(\widehat {BAC}.\)

Le cosinus de \(\alpha\) = \(\frac{AC}{AB}\)

Le sinus de \(\alpha\) = \(\frac{BC}{AB}\)

Les sinus et cosinus sont toujours compris entre 0 et 1. Vous l’avez d’ailleurs deviné puisqu’il s’agit de rapports de deux longueurs et que la plus grande (l’hypoténuse) se trouve, dans les deux cas, au dénominateur.

 

La relation

Qu’observons-nous si nous additionnons les carrés de ces deux rapports ?

\({\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} + \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}}\)

Oui, c’est facile. La suite l’est aussi. Vu que les deux rapports ont le même dénominateur, on peut aussi écrire \(\frac{{A{C^2} + B{C^2}}}{{A{B^2}}}.\)

Et là, nous quittons les banales règles de calcul pour faire intervenir une célébrité, en l’occurrence le théorème de Pythagore. Puisque l’hypoténuse est \(AB,\) alors \(AC^2 + BC^2 = AB^2.\)

Il s’ensuit que \(\frac{{A{C^2} + B{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^2}}} = 1.\)

Et voila le clou du spectacle : \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1.\)

 

Exemple

On cherche à connaître le cosinus d’un angle aigu alors que l’on connaît le sinus (ou inversement).

Soit \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{3}{2}} \).

On pose \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1.\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\frac{3}{2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{4}\)

Le sinus d’un angle aigu étant positif, on peut écrire \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\)

 

Exercice

Rappelons la formule de la tangente : \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Trouver le sinus et le cosinus de l’angle aigu \(\alpha\) sachant que \(\tan \alpha = 2.\)

 

Corrigé

\(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\)
\(\Leftrightarrow \sin \alpha = 2\cos \alpha \)

Retrouvons notre chère formule

\({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1.\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\( \Leftrightarrow 4 \,{\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
\( \Leftrightarrow 5 \,{\cos ^2}\alpha = 1\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}\)

Le cosinus d’un angle aigu est positif.

\(\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} \)
\( \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Donc \(\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

 

Complément au corrigé

À quelle valeur \(\alpha\) est-il approximativement égal ?

Pour le savoir, vous utiliserez votre calculatrice. Celle-ci doit être en mode degrés.

Vous entrez soit \({\cos ^{ - 1}}\frac{{\sqrt 5 }}{5}\) soit \({\sin ^{ - 1}}\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Avec une TI-82, utilisez les touches arccos (2nde + cos) ou arcsin (2nde + sin).

Si vous utilisez une TI-83, c'est avec la touche trig que vous obtenez un menu qui offre un choix de six possibilités (sin, cos, tan, sin-1, cos-1 et tan-1).

Avec une Casio 85 SD, utilisez les touches Acs (SHIFT + cos) ou Asn (SHIFT + sin). Le mode degrés est accessible par SET UP (illustration ci-dessous).

Vous devez obtenir une valeur approchée de 63,4349.