Trois exercices avec fonction sinus

Fonctions composées de la fonction sinus

Trois exercices de niveau terminale générale (maths de spécialité) à partir de la fonction sinus…

Exercices

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |\sin(x)|$

1. Étudier la parité de $f.$


2. Montrer que $f$ est π-périodique.


3. Tracer la représentation graphique de $f.$

Exercice 2

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$

$\displaystyle{f:x \mapsto 3\sin \left( {4x + \frac{\pi }{6}} \right)}$

1. Démontrer que $f$ est périodique de période $\frac{\pi}{2}.$


2. Calculer $f',$ dérivée de $f.$


3. Étudier le signe de $f’$ et les variations de $f$ sur l'intervalle $\left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right].$

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\sin(x) - 2x.$

Calculer $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x}$ sachant que $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}}{x} = 1.$

Corrigés

Corrigé 1

1- $f(-x) = |\sin(-x)|$ $= |-\sin(x)|$ pour tout réel $x$ car la fonction sinus est impaire.

Par propriété de la valeur absolue, $|-\sin(x)| = |\sin(x)|.$

Donc $f(-x) = f(x).$ La fonction $f$ est paire.

2- Pour tout réel $x,$ $f(x + \pi)$ $= |\sin(x + \pi)| = |-\sin(x)|$ par propriété de la fonction sinus.

$|-\sin(x)| = |\sin(x)| = f(x).$

La fonction $f$ est π-périodique.

3- Le tracé avec GeoGebra :

Bravo, vous avez modélisé une puce qui saute.

Corrigé 2

1- Périodicité.

$f\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 3\sin\left(4x + \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$
$= 3\sin\left(4x + 2\pi + \frac{\pi}{6}\right)$
$=3\sin\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)$
$= f(x)$

2- Rappelons que $[\sin(u(x))]’ = u’(x) \cos(u(x))$.

Donc $f'(x) = 12\cos\left(4x + \frac{\pi}{6}\right)$

3- Déterminons pour quelle(s) valeur(s) $f’$ s’annule. Nous savons que $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ et $\cos\left(\frac{-\pi}{2}\right) = 0.$ Nous posons donc :

$\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ou $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

$\Leftrightarrow 4x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ou $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$)

$\Leftrightarrow 4x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi$ ou $4x = -\frac{4\pi}{6} + 2k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$

Sur $\left[0 \,; \frac{\pi}{2}\right]$ nous avons…

$x = \frac{\pi}{12}$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$

Nous devons donc étudier le signe de $f’$ sur trois intervalles. D’abord, sur $\left[0 \,; \frac{\pi}{12}\right].$ Remarquez qu’il est inutile de nous encombrer du facteur 12 qui ne change rien au signe et encadrons $x$ :

Si $0 \leqslant x \leqslant\frac{\pi}{12},$ alors...

$\frac{\pi}{6} \leqslant 4x + \frac{\pi}{6} \leqslant\frac{4\pi}{12} + \frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} \leqslant 4x + \frac{\pi}{2} \leqslant\frac{\pi}{2}$

Encadrons à présent le cosinus de notre expression. On connaît les valeurs de $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$ et de $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ (voir la page introduisant la trigonométrie) :

$0 \leqslant\cos\left(4x + \frac{\pi}{6}\right) \leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$

Nous en concluons que $f’ \geqslant 0$ sur $\left[0\,;\frac{\pi}{12}\right]$ et donc que $f$ est croissante sur cet intervalle.

De même vous pouvez établir que $f$ est décroissante sur $\left[\frac{\pi}{12}\,;\frac{\pi}{3}\right]$ puis croissante sur $\left[\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{2}\right].$

Corrigé 3

$\frac{f(x)}{x} = \frac{3\sin(x) - 2x}{x}$

$\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = 3\frac{\sin(x)}{x}-2$

Donc :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x} = 3 \times 1 - 2\ = 1$