Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les applications réciproques

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Réciprocité en mathématiques

Voici une notion qui peut paraître abstraite (d’ailleurs, elle l’est) et qui s’applique aux fonctions numériques mais aussi de façon beaucoup plus large aux applications entre espaces vectoriels. La réciproque d’une application fait le contraire de l’application initiale et la réciproque de la réciproque permet de retomber sur ses pattes.

Fonctions numériques

Si y = f(x), la fonction réciproque f -1 (ou f r) est telle que x = f -1(y) ou, si ça vous semble plus clair, f -1(f(x)) = x. Attention, le -1 en exposant n’a rien à voir avec une puissance.

Prenons quelques cas simplissimes : la réciproque de f(x) = x + 1 est tout simplement égale à x – 1, la réciproque d’une fonction affine f(x) = ax + b est (x – b) / a, la réciproque de la fonction carré est la racine carrée (plus généralement, si f(x) = xn, f -1(x) = racine énième de x), la réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme népérien (plus généralement, la réciproque d'une exponentielle de base a est une logarithme de base a), la réciproque de la fonction sinus est la fonction arc-sinus… et « réciproquement ». Voir également la page consacrée aux fonctions homographiques.

Attention, cette réciproque n’existe pas toujours et les ensembles de définition d’une fonction et de sa réciproque sont rarement les mêmes. Par exemple, la réciproque de la fonction carrée n’existe que si x est positif (la racine carrée d’un nombre réel négatif n’existe pas). Seule une fonction bijective (i. e. strictement monotone) admet une réciproque.

Il arrive qu’une fonction soit sa propre réciproque (ce qui s’appelle une involution) : la fonction inverse réussit cet exploit.

Graphiquement, on trace une courbe représentative d'une fonction réciproque en utilisant la première bissectrice (y = x) comme axe de symétrie. Voyez par exemple les représentations des fonctions f et g définies par f(x) = x³ et g(x) = x1/3 (réalisée avec GeoGebra) :

Réciproque d’une composée : (g o f)-1 = f -1 o g -1

La dérivée d’une fonction réciproque :

dérivée

Exemple

Calculer la réciproque de la fonction suivante :

exemple

Cette fonction est décroissante sur R. Entrons dans les détails :

détail des calculs

Conclusion : f est une involution.

Généralisation

En utilisant les opérateurs des ensembles, on généralise les propriétés des applications réciproques.

propriétés

Algèbre linéaire

La réciprocité ne se restreint pas qu'à des applications de R dans R. Une application linéaire BIJECTIVE d'un espace vectoriel dans un autre (appelée « isomorphisme ») admet aussi une réciproque. Les vecteurs qui déterminent l'application prennent la forme d'une matrice carrée dont la réciproque est sa matrice inverse.

La notion d'espace vectoriel dépasse d'ailleurs celle d'espace numérique et il existe des espaces de fonctions, de suites, de polynômes... Mais le principe reste le même et la notation également, l'inverse d'un isomorphisme f étant noté f-1.

D'autres explications sur...

http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveE.html

 

discours involutif

 

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