Les applications réciproques

Réciprocité en mathématiques

Voici une notion qui peut paraître abstraite (d’ailleurs, elle l’est) et qui s’applique aux fonctions numériques mais aussi de façon beaucoup plus large aux applications entre espaces vectoriels. La réciproque d’une application fait le contraire de l’application initiale et la réciproque de la réciproque permet de retomber sur ses pattes.

 

Fonctions numériques

Si \(y = f(x),\) la fonction réciproque notée \(f^{-1}\) (ou \(f^r\)) est telle que \(x = f^{-1}(y)\) ou, si ça vous semble plus clair, \(f^{-1}(f(x)) = x.\) Attention, le -1 en exposant n’a rien à voir avec une puissance.

Prenons quelques cas simplissimes : la réciproque de \(f(x) = x + 1\) a pour expression \(x - 1,\) la réciproque d’une fonction affine \(f(x) = ax + b\) a pour expression \(\frac{x - b}{a},\) la réciproque de la fonction carré est la racine carrée (plus généralement, si \(f(x) = x^n,\) sa réciproque est égale à \(\sqrt[n]{x}\)), la réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme népérien (plus généralement, la réciproque d'une exponentielle de base \(a\) est une logarithme de base \(a\), la réciproque de la fonction sinus est la fonction arc-sinus… et « réciproquement ». Voir également la page consacrée aux fonctions homographiques.

Attention, les fonctions et leurs réciproques n’existent pas toujours sur les mêmes ensembles de définition. Par exemple, la réciproque de la fonction carrée n’existe que si \(x\) est positif (la racine carrée d’un nombre réel négatif n’existe pas).

Seule une fonction bijective (i. e. strictement monotone) admet une réciproque.

Il arrive qu’une fonction soit sa propre réciproque (ce qui s’appelle une involution) : la fonction inverse réussit cet exploit.

Graphiquement, on trace une courbe représentative d'une fonction réciproque en utilisant la première bissectrice où \(y = x\) comme axe de symétrie. Voyez par exemple les représentations des fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = x^{1/3}\) (réalisée avec GeoGebra) :

Réciproque d’une composée : \(g \circ {f^{ - 1}} = {f^{ - 1}} \circ {g^{ - 1}}\)

La dérivée d’une fonction réciproque :

\[(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}\]

 

Exemple

Calculer la réciproque de la fonction suivante :

\[f(x) = \sqrt[5]{{1 - {x^5}}}\]

Cette fonction est décroissante sur \(\mathbb{R}.\) Entrons dans les détails :

\(f(x) = \sqrt[5]{{1 - {x^5}}}\)
\(\Leftrightarrow y^5 = 1 - x^5\)
\(\Leftrightarrow 1 - y^5 = x^5\)
\(\Leftrightarrow x = \sqrt[5]{{1 - {x^5}}}\)

Conclusion : \(f\) est une involution.

 

Généralisation

En utilisant les opérateurs des ensembles, on généralise les propriétés des applications réciproque

\({f^{ - 1}}(A \cup B) = {f^{ - 1}}(A) \cup {f^{ - 1}}(B)\)

\({f^{ - 1}}(A \cap B) = {f^{ - 1}}(A) \cap {f^{ - 1}}(B)\)

\({f^{ - 1}}(\overline A ) = \overline {{f^{ - 1}}(A)} \)

La réciproque d'une fonction continue strictement croissante sur un intervalle est continue et strictement croissante.

reflet

 

Algèbre linéaire

La réciprocité ne se restreint pas qu'à des applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}.\) Une application linéaire BIJECTIVE d'un espace vectoriel dans un autre (appelée « isomorphisme ») admet aussi une réciproque. Les vecteurs qui déterminent l'application prennent la forme d'une matrice carrée dont la réciproque est sa matrice inverse.

La notion d'espace vectoriel dépasse d'ailleurs celle d'espace numérique et il existe des espaces de fonctions, de suites, de polynômes... Mais le principe reste le même et la notation également, l'inverse d'un isomorphisme \(f\) étant noté \(f^{-1}.\)

D'autres explications sur...

http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveE.html

 

discours involutif