Quotients de fonctions
Homographique : voici un terme savant qui a fait son entrée dans les programmes de seconde entre 2010 et 2017. Pourtant, le type de fonction ainsi qualifiée a toujours été étudié dans le secondaire. Aujourd'hui, on parle plutôt de quotient de fonctions.
Présentation
Soit \(f\) une fonction homographique. Elle est définie sur \(\mathbb{R} \backslash \{-\frac{d}{c}\}\) par \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\)
La fonction homographique apparaît comme une fonction rationnelle de polynômes du premier degré ou, si l’on préfère, par la division d’une fonction affine (ou linéaire) par une autre.
Évidemment, il faut que \(ad \ne bc.\) En d’autres termes, si le numérateur et le dénominateur ont le tort d'être proportionnels, on obtient une fonction constante. De plus, il ne faut pas que \(c\) soit nul puisque c’est lui qui fait tout le charme d’une fonction homographique (on se trouverait sinon avec une vulgaire fonction affine) ...
Ex-programme de seconde
Ensemble de définition : comme précisé ci-dessus, une telle fonction n’existe dans \(\mathbb{R}\) que si son dénominateur n’est pas nul, donc lorsque \(x \ne -\frac{d}{c}.\)
Équations et inéquations : il s’agit de connaître les valeurs de \(x\) pour lesquelles une fonction homographique est inférieure, égale ou supérieure à un réel donné.
Soit par exemple la fonction \(g: x \mapsto \frac{2x - 4}{x + 2}\) définie sur \(\mathbb{R} \backslash \{-2\}.\)
Résolvons l'inéquation \(g(x) > 10\)
\(\frac{2x - 4}{x + 2} > 10\)
Il ne faut surtout pas commencer par écrire \(2x - 4 > 10(x + 2).\) Le résultat serait faux pour tout réel \((x + 2)\) négatif. Donc :
\(\frac{2x - 4}{x + 2} - 10 > 0\)
Ensuite, on place tout sur le même dénominateur puis on réduit. Il s’ensuit que…
\(\frac{2x - 4 - 10(x + 2)}{x + 2} > 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{-8x - 24}{x + 2} > 0\)
Reste à construire un tableau de signes (penser que -2 est une valeur interdite). On trouve \(S = ]-3\,; -2[.\) Ci-dessous, réalisation avec le logiciel Sine qua non.
On procède de même pour déterminer une inégalité entre deux fonctions homographiques mais là, on risque fort de se trouver face à une inéquation du second degré (programme de première, sauf si identité remarquable).
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.
Programme de première : dérivation
En classe de première générale, on travaille toujours sur des quotients de fonctions.
La fonction homographique est continue et dérivable sur son ensemble de définition. La formule pratique de dérivation est le très classique \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (écriture non rigoureuse)
Donc, soit une fonction homographique \(f\) telle que définie en haut de cette page, sa dérivée s'écrit :
\(f'(x) = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}\)
\(\Leftrightarrow f'(x) = \frac{ad - cb}{(cx + d)^2}\)
Retrouvons notre chère fonction g et faisons lui subir une dérivation (à vous de vérifier le calcul !)
\(g'(x) = \frac{8}{(x + 2)^2}\)
Programme de terminale : primitives et réciproques
L’expression de la fonction telle que présentée ci-dessus n’est pas pratique pour déterminer une primitive et donc pour résoudre une intégrale. Il faut modifier son écriture pour arriver à la forme suivante : \(f(x) = \alpha + \frac{\beta}{cx + d}.\)
On trouve facilement que derrière \(\alpha\) se cache, ni plus ni moins, \(\frac{a}{c}\) et que \(\beta\) est en fait \(b - \alpha d\) (ou, en détaillant, \(b - (\frac{a}{c})d).\) Reprenons notre exemple.
\(g(x) = \frac{2x - 4}{x + 2}\) \(=\) \(2 - \frac{8}{x + 2}\)
L’intégration nécessite un recours salvateur à la fonction logarithme népérien (\(c\) est une constante réelle) :
\(G(x) = 2x - 8 \ln |x + 2 | + c\)
Voir également l'exemple de la page sur la linéarité de l'intégrale.
Enfin, la réciproque de la fonction homographique est :
\(f^{-1}(x) = -\frac{dx - b}{cx - a}\)
Pour terminer, et parce que vous le méritez bien, voici la représentation graphique de notre fonction \(g\) (en rouge) et de sa réciproque (en bleu). Réalisation sur Sine qua non.
