Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les fonctions homographiques

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Fonctions homographiques dans R

Homographique : voici un terme savant qui est apparu dans les programmes de lycée en 2010. Pourtant, le type de fonction ainsi qualifiée a toujours été étudié dans le secondaire. Modeste, cette page se limite aux programmes de lycée.

Faisons les présentations :

fonction homographique

La fonction homographique apparaît comme une fonction rationnelle de polynômes du premier degré ou, si l’on préfère, par la division d’une fonction affine (ou linéaire) par une autre. Évidemment, il faut que ad ≠ bc. En d’autres termes, si le numérateur et le dénominateur ont le tort d'être proportionnels, on obtient une fonction constante. De plus, il ne faut pas que c soit nul puisque c’est lui qui fait tout le charme d’une fonction homographique (on se trouverait sinon avec une vulgaire fonction affine)...

Programme de seconde : ensemble de définition, inéquations, courbe représentative

Ensemble de définition : une telle fonction n’existe dans R que si son dénominateur n’est pas nul, donc si ≠ (-d / c).

Équations et inéquations : il s’agit de connaître les valeurs de x pour lesquelles une fonction homographique est inférieure, égale ou supérieure à un nombre donné. Par exemple…

inégalité

Il ne faut surtout pas commencer par écrire 2x – 4 > 10 (x + 2). Le résultat serait faux pour tout (x + 2) négatif. Donc :

inégalité

Ensuite, on place tout sur le même dénominateur puis on réduit. Il s’ensuit que…

simplification

Reste à construire un tableau de signes (penser que -2 est une valeur interdite). On trouve S = ]-3 ; -2[.

On procède de même pour déterminer une inégalité entre deux fonctions homographiques mais là, on risque fort de se trouver face à une inéquation du second degré (programme de première, sauf si identité remarquable).

La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole.

Programme de première : dérivation

La fonction homographique est continue et dérivable sur son ensemble de définition. La formule pratique de dérivation est le très classique u / v = (u’v – uv’) / v². Donc :

dérivée

Retrouvons notre chère fonction g et faisons lui subir une dérivation.

exemple de dérivée

Programme de terminale : primitives et réciproques

L’expression de la fonction telle que je vous l’ai présentée n’est pas pratique pour trouver une primitive et donc pour résoudre une intégrale. Il faut donc modifier l’écriture pour arriver à la forme suivante :

préparation

On trouve facilement que derrière α se cache, ni plus ni moins, a / c et que β est en fait b – αd (ou, en détaillant, b – (a / c)d). Reprenons notre exemple.

transformation

L’intégration nécessite un recours salvateur à la fonction logarithme népérien (c est une constante réelle) :

primitive

Voir également l'exemple de la page linéarité de l'intégrale.

Enfin, la réciproque de la fonction homographique est :

réciproque

Pour terminer, et parce que vous le méritez bien, voici la représentation graphique de notre fonction g (en rouge) et de sa réciproque (en bleu). Réalisation sur Sine qua non.

homographique et réciproque

 

homographique

 

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